13、使用SAT求解器解决同步问题及K - 中位数聚类算法的研究

使用SAT求解器解决同步问题及K - 中位数聚类算法的研究

1. 使用SAT求解器解决同步问题

在解决部分有限自动机（PFA）的仔细同步字（CSW）问题中，SAT求解器发挥了重要作用。

首先，我们需要证明一个字 (w) 满足特定的条件（C1）、（C2）和（C3）。对于（C1）和（C2），要验证对于 (t = 1, \cdots, \ell)，字 (w) 的第 (t) 个字母在 (t - 1) 步后活跃的每个状态 (q_j) 处都有定义。假设 (a_i) 是 (w) 的第 (t) 个字母，如果 (a_i) 在 (q_j) 处未定义，根据转移子句集合 (T) 的定义，(T) 会包含相应的子句（3）。但根据 (w) 的构造有 (\phi(x_{i,t}) = 1)，由命题 2 有 (\phi(y_{j,t - 1}) = 1)，这就导致 (\phi) 不满足该子句，而 (T) 中的子句都应被 (\phi) 满足，从而产生矛盾。对于（C3），由命题 1 可知，在 (\ell) 步后有某个状态是活跃的。同时，赋值 (\phi) 满足集合 (S) 中的子句，这意味着对于至多一个索引 (j \in {1, \cdots, n}) 有 (\phi(y_{j,\ell}) = 1)，结合命题 2 可推出在 (\ell) 步后至多有一个状态是活跃的，所以在 (\ell) 步后恰好有一个状态是活跃的，即 (|Q.w| = 1)。

在实验方面，我们使用了MiniSat 2.2.0这个SAT求解器来解决CSW实例。为了找到给定PFA (A) 的最小长度的仔细同步字，我们考虑固定 (A) 的CSW实例 ((A, \ell))，并对 (\ell) 进行二分查找。具体操作步骤如下：
1. 对 ((A,