单纯形算法 Simplex Algorithm (一)-优快云博客

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本文介绍了单纯形算法求解线性规划问题的基本原理，包括线性规划的松弛形式、相关定理、基变量与基可行解的概念，以及出基入基操作。通过实例展示了如何在二维平面上找出最优解的过程，强调了算法中确保解可行性和判断最优解的重要性。

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单纯形算法是求解线性规划问题最经典的方法，在许多介绍该算法的文章中会使用单纯形表(Tableau)辅助计算，而对Tableau进行的操作本质上都是在对松弛化的线性规划模型进行矩阵运算，从几何表现上看，就是在线性规划问题的定义域上的顶点中迭代搜索，寻找使得目标函数最优的那个顶点。使用Tableau计算虽然很高效，不过对于理解算法原理帮助不大；单纯形算法的原理是基于线性代数的，如果要彻底理解，还是需要很多基础的矩阵知识的。这篇文章里我只是记录和单纯形算法相关的线性代数知识，加深对该算法中一些术语的记忆和理解；算法里更加具体的线代原理则跳过，那已经超过了我的认知水平，在后续文章中会记录更容易理解的算法计算过程。

线性规划松弛形式

在应用算法前，必须对原始的线性规划模型进行预处理，先转换成标准线性规划模型，再转换成松弛线性规划模型。标准线性规划模型的形式：
$\begin{aligned} max\quad& Z=\boldsymbol{c}^T\boldsymbol{x}\\ s.t.\quad& \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x} \geq0 \\ \end{aligned}$
具体形式：
$\begin{aligned} max\quad& Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n\\ s.t.\quad& \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ . & . & . & . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ . \\ x_n\\ \end{bmatrix}\leq \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ . \\ b_m\\ \end{bmatrix}\\ & \boldsymbol{x} \geq0 \\ \end{aligned}$
如果将一个原始的线性规划模型标准化? 如果目标是最小化，则乘上-1变成最大化目标(当然标准模型的目标函数也可以是最小化，两者本质是相同的，只不过算法的某些细节上互为相反)；如果约束是 $≥\geq$ ，两边同乘-1；如果某个变量 $x_i<0$ ，那么定义 $x_i=x'-x''$ ，并且 $x′≥0,x′′≥0x'\geq0,x''\geq0$ ，将原变量替换成 $x^{'}$ 和 $x^{''}$

然后将标准形式转换成松弛形式，其实就是给每个约束不等式上引入松弛变量 $s$ ，将所有的约束不等式转换成等式：
$\begin{aligned} max\quad& Z=\boldsymbol{c}^T\boldsymbol{x'}\\ s.t.\quad& \boldsymbol{A'}\boldsymbol{x'}= \boldsymbol{b} \\ & \boldsymbol{x'} \geq0 \\ \end{aligned}$
即:
$\begin{aligned} max\quad& Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n\\ s.t.\quad& a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}+s_1=b_1 \\ & a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+s_2=b_2 \\ & {...} \\ & a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}+s_m=b_m \\ & x_1,x_2,...,x_n,s_1,...,s_m \geq 0 \end{aligned}$