单纯形法（算法分析）

目录

基本概念：

基本思想：

反射运算：

紧缩运算：

收缩运算：

单纯形法算法步骤：

例题解析：

总结：

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基本概念：

在研究单纯形法之前，我们先将单纯形定义：

定义：n 维空间  中有 n+1 个顶点的凸多边形。

（如：一维空间中线段，二维空间中的三角形，三维空间中的四面体等，都是相应空间中的单纯形。）

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基本思想：

在 n 维空间中构造一个单纯形，求出它各个顶点的函数值，比较得到最好顶点和最坏顶点，然后通过反射、扩展、压缩等方法求出一个较好点，用这个点取代最坏点，构成新的单纯形，直到满足停止条件为止。

定义：（正规单纯形）对于 n 维空间中单纯形，它的任意两个顶点之间的距离都相等。

（如：二维空间中等边三角形，三维空间中等边四边形。）

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下面来仔细研究反射、紧缩、扩展、收缩方法：

反射运算：

步骤1：将单纯形的顶点重新排列，使得  这样，最好的顶点  ，最坏的顶点  ；

步骤2：去掉最坏顶点  ，求出单纯形的重心： ;

步骤3：求出最坏顶点  关于重心的反射点：;

步骤4：如果反射点比最坏顶点好，则用反射顶点替换最坏顶点，构成新的单纯形。

紧缩运算：

如果 ，可能最好顶点  接近最优解则可将所有顶点向  方向收缩。

，其中 紧缩系数

扩展运算：

当  ，即反射点比最好顶点还好，可以在  和  连线的延长线上求一个拓展点。

 ，其中  扩展系数

收缩运算：

当  ，将  和  之间目标函数较小的记为 ，另一个记为  ，并在  与  的连线上靠近  处求一个收缩点。

 ，其中  收缩系数

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单纯形法算法步骤：

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例题解析：

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总结：

需要说明的是，当变量多的时候,例如 ，单纯形法效果不好。

（行文中若有纰漏，希望大家指正）