求解分配问题(三) 二分图最小权重匹配

在上一篇文章中，介绍了二分图的最大匹配问题及其算法，但是分配问题和二分图最大匹配似乎关联不大，为什么要详细介绍二分图最大匹配呢? 其实如果给二分图中的边加上权重，那么这个二分图就是分配问题的图形式，如果分配问题的目标是最大值目标，那么对应的图论问题就是求二分图的最大权重匹配，具体来说：

• 给二分图$G$的边设置权重$w(i,j)$，$i$和$j$分别表示两个点集中的点，对于一个匹配$M$，其权重和$w(M)={\sum }_{e\in M}w(e)$，最大权重匹配问题就是找到是权重和最大的匹配；如果设置权重为$c(i,j)=W-w(i,j),W\ge max(w(i,j))$，那么最大权重匹配就转化成了最小权重匹配

因为分配问题大多数情况是要让总的cost最小，所以本文还是以二分图最小完美匹配作为对象进行叙述(分配的结果应该是让所有的对象都有分配值，所以要强调是完美匹配)

二分图最大匹配其实是权重都是1的特殊情况，我们可以使用搜索增广路径的算法来求解二分图最大匹配问题；那么对于更为一般的权重二分图，该方法还可以使用吗? 其实算法的核心还是和增广路径相关，不过需要在原始的权重二分图上扩充一下

转化成最大匹配问题

需要介绍两个非常关键的算法术语：Feasible Labeling(不知道怎么用中文描述，有的资料里会称对偶变量)和Equality Graph

我们用一个例子来帮助理解：假设一个二分图的权重矩阵如下表所示：

	y1	y2	y3
x1	0	1	0
x2	2	1	3
x3	0	1	2

用图表示：

然后：

• 定义对一个顶点的$labeling$表示对这个顶点附加一个值映值 $l:V\to R$，意思就是给每个点附加一个变量值
• 对每个顶点都做$labeling$，我们称这个$labeling$是$feasible$的当：
  $$\begin{array}{r}l(x)+l(y)\le w(x,y),\forall x\in X,y\in Y\end{array}$$
  例如对于上面的这个二分图，下面的$labeling$（标红的数字）就是$feasible$的，因为任意两个顶点的$labeling$值的和都不大于它们之间的权重值
  
• 在$feasiblelabeling$的基础上，我们只保留所有满足相等条件的边，构成一个$EqualityGraph$，用数学语言描述就是，$G_e=(V,E_l)$，满足：
  E l = { ( x , y ) : l ( x ) + l ( y ) = w ( x , y ) } \begin{aligned} E_l=\{(x,y):l(x)+l(y)=w(x,y)\} \end{aligned} El​={ (x,y):l(x)+l(y)=w(x,y)}​
  在上面的例子中，其$EqualityGraph$如下图所示：
  

对于一个权重二分图，我们如果设定了$feasiblelabeling$，并得到了相应的$EqualityGraph$，我们有下面这个定理：

• 如果一个$l$是$feasible$的，并且$M$是$E_l$上的一个完美匹配，那么$M$就是该二分图的最小权重匹配

其证明过程如下：

• 定义任意的边为$e=(e_x,e_y)\in E$，$e_x$和$e_y$是它的两个端点，假设$M^{\prime }$是图$G$上的任意完美匹配(不限定在$G_l$上)，因为是完美匹配，每个顶点$v\in V$都正好被完美匹配上的一条边连接，就有
  $$\begin{array}{r}w(M^{\prime })=\sum _{e\in M^{\prime }}w(e)\ge \sum _{e\in M^{\prime }}(l(e_x)+l(e_y))=\sum _{v\in V}l(v)\end{array}$$