威尔逊定理

威尔逊定理

威尔逊定理是数论四大基本定理之一，而且似乎和群论还有很多奥秘重重的关系。

然而用处不大。

威尔逊定理指的是：
$(p-1)!\equiv -1(modp)\iff p\in \mathbb{P}$
换句话说就是：$(p-1)!\equiv -1(modp)$是p为质数的充分必要条件。

注意$-1\equiv p-1(modp)$

威尔逊定理的证明也是奥秘重重：

当p=1,2,3,4时，显然成立。

假设$p>4$：

若p为合数

p为完全平方数

设$k=\sqrt{p}$，由于$4<p$，因而$2<k$，则$2k<p$
则$(p-1)!=1\times 2\times ...\times k\times ...\times 2k\times ...\times (p-2)\times (p-1)$

则有：$(p-1)!\equiv X\cdot 2\cdot k^2\equiv X^{\prime }\cdot p\equiv 0(modp)$

若p不为完全平方数

则$(p-1)!=1\times 2\times ...\times (p-2)\times (p-1)$
其中必然存在$p$的一对因子相乘等于$p$，因此$(p-1)!\equiv 0(modp)$

若p为质数

则集合 S = { 1 , 2 , . . . , p − 2 , p − 1 } S=\{1,2,...,p-2,p-1\} S={1,2,...,p−2,p−1}为$p$的一个既约剩余系。
设$a\in S$，根据欧拉定理中的证明， S ′ = { 1 ⋅ a , 2 ⋅ a , . . . , a ⋅ ( p − 2 ) , a ⋅ ( p − 1 ) } S'=\{1\cdot a,2\cdot a,...,a\cdot(p-2),a\cdot(p-1)\} S′={1⋅a,2⋅a,...,a⋅(p−2),a⋅(p−1)}也为$p$的一个简化剩余系。

新的既约剩余系中必然存在且仅有一个元素u，使得$u\equiv 1(modp)$

我们断言：对于$x\in S,x=2,...,p-2$，必然一一对应一个互不相同的，并且不等于自身的$a$，使得$ax\equiv 1$。

若$x=a$，则$ax\equiv 1$，即$x^2\equiv 1$，因此$x^2-1\equiv 0$，就是$(x-1)(x+1)\equiv 0$，此时$x\equiv 1或-1$。模意义下$-1$就是$p-1$。

因而$x\not\equiv a$：
先说不可能有一个$x$对应多个$a$，使得$ax\equiv 1,a^{\prime }x\equiv 1$。
假设存在两个$a$，使得$ax\equiv 1,a^{\prime }x\equiv 1(a\not\equiv a^{\prime })$，则$ax\equiv a^{\prime }x$，也即$a\equiv a^{\prime }$，矛盾。

再说不可能存在一个$a$对应多个$x$，同理。

因此 { 2 , 3 , . . . , p − 2 } \{2,3,...,p-2\} {2,3,...,p−2}这些数两两配对，乘积均为模意义下1，即：$\stackrel{p-2}{\prod _{i=2}}i\equiv 1$

此时：
$(p-1)!\equiv 1\times \left(\stackrel{p-2}{\prod _{i=2}}i\right)\times (p-1)\equiv 1\times 1\times (p-1)\equiv p-1\equiv -1$

QED.

例题

威尔逊定理的题挺少的。

题目描述：
求$S_n=\stackrel{n}{\sum _{k=1}}\lfloor \frac{(3k+6)!+1}{3k+7}-\lfloor \frac{(3k+6)!}{3x+7}\rfloor \rfloor$

目测这个形式很丑，令$x=3k+7$:
那么枚举上界应该是：$k\le n$，即$\frac{x-7}{3}\le n$,$x\le 3n+7$

式子变形为：
$=\stackrel{3n+7}{\sum _{x=1}}\lfloor \frac{(x-1)!+1}{x}-\lfloor \frac{(x-1)!}{x}\rfloor \rfloor$

很明显括号内是一个描述分式进位的东西，当且仅当$\frac{(x-1)!+1}{x}$会使得x进位时，括号内的值为1，否则为0.

（这里说的进位，例如$\frac{4}{5}=0$，如果有$\frac{4+1}{5}=1$，那么就称$5$有进位）

因此我们注意到，当且仅当$(p-1)!\equiv p-1\equiv -1(modp)$时，才有进位。

因此处理一下$[1,3n+7]$范围内形如$3k+7$的质数数量就可以了。

后记

于是皆大欢喜。