威尔逊定理指出，如果(p-1)! 模 p 等于 -1，那么 p 是素数。本文详细证明了这一定理，通过集合M、N以及集合S的性质，展示了在模p条件下，所有元素都能找到乘积等于1的对应项，最终得出(p-1)! ≡ p-1 (mod p)，从而证明定理。
威尔逊定理
威尔逊定理：当 ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) ( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) (p−1)!≡−1(modp) 时， p p p为素数。
p ∣ ( p − 1 ) ! + 1 p|(p-1)!+1 p∣(p−1)!+1
即
( p − 1 ) ! ≡ ( p − 1 ) ≡ − 1 ( m o d p ) (p - 1)! \equiv (p -1) \equiv-1(mod \ p) (p−1)!≡(p−1)≡−1(mod p)
证明（静下心看）：
先假设集合 M = { 2 , 3 , 4 , ⋯ , p − 2 } M=\{ 2,3,4,\cdots,p - 2\} M={ 2,3,4,⋯,p−2} ，集合 N = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , p − 1 } N = \{ 1,2,3,\cdots,p-1\}
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