容斥dp的数学基础

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#容斥原理 #二项式反演 #子集反演 #斯特林反演 #莫比乌斯反演 #线性代数 #min-max容斥

于 2023-10-31 08:33:54 首次发布

容斥dp的数学基础

本文不涉及：

单位根反演
生成函数
集合幂级数
微积分
多项式计数

记号

集合： $[n]=[1,n]\cap\mathbb{Z}$
排列数： $A^m_n=n^{\underline m}$
环排列数： $Q_n=(n-1)!$
环排列数： $Q_n^m=\frac{n!}{m(n-m)!}$
组合数： $C^m_n=\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$
无符号第一类斯特林数： $\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}$
表示 $n$ 个有标号元素划分到 $m$ 个无标号非空环排列的方案数，也即 $n$ 元集合划分为 $m$ 个非空环排列的方案数。
第二类斯特林数： $\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$
表示 $n$ 个有标号元素划分到 $m$ 个无标号非空集合的方案数，也即 $n$ 元集合划分为 $m$ 个非空子集的方案数。
空集的补： $i\in\varnothing:\overline i=U$

对于超过定义范围的组合数、斯特林数等，均认为 $0$ 。

和式的变换

容斥原理

$补集转换:S=U-\overline{ S}$
$德·摩根定律:\overline{\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup}}S_i}=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}\overline{S_i},\overline{\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}}S_i }=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup}}\overline{S_i}$
$集合的并:\left|\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup}}S_i \right|={\underset{\varnothing\not=T\subseteq [n]}{\overset{}\sum}}(-1)^{|T|-1}\left |{\underset{i\in T}{\overset{}\bigcap}}S_i\right |$
集合的并=集合的交的交错和（这里是奇加偶减），去掉模也成立。
$集合的交:\left| {\underset{i=1}{\overset{n}\bigcap}}S_i\right|={\underset{T\subseteq [n]}{\overset{}\sum}}(-1)^{|T|}\left|{\underset{i\in T}{\bigcap}\overline{S_i}}\right|$
集合的交=补集的交的交错和（这里是奇减偶加），去掉模也成立。

以上可归纳证明。

反演的本质

对于向量 $F, G$ ，有关系矩阵 $H$ ：
$F=H\times G\Leftrightarrow G=H^{-1}\times F$

则 $G\rightarrow F$ 称为变换，从 $F\leftarrow G$ 称为反演。

二项式反演

二项式反演原理：
$\underset{i=0}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}=\underset{i=0}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{i}=[n=0]$

备注，很明显这几个东西不成立：
$\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}=[n=m]$
$\underset{i=n}{\overset m\sum}\begin{pmatrix}i\\n\end{pmatrix}(-1)^{i-n}=[n=m]$

二项式反演：
$f(n)=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}f(i)$
$f(n)=\underset{i=n}{\overset{m}\sum}\begin{pmatrix}i\\ n\end{pmatrix}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\underset{i=n}{\overset{m}\sum}\begin{pmatrix}i\\ n\end{pmatrix}(-1)^{i-n}f(i)$

$\underset{i=0}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}=\underset{i=0}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{i}=[n=0]$
证明：
我们有二项式定理： $(1-1)^n=\underset{i=0}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}$
QED.

$f(n)=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}f(i)$
证明：
只证明从左推右，反向同理：
$g(n)=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}f(i)$
反演一般的思路都考虑将 $f (i)$ 定义带入：
$=\underset{i=m}{\overset{n}\sum}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}(-1)^{n-i}\underset{j=m}{\overset{i}\sum}\begin{pmatrix}i\\ j\end{pmatrix}g(j)$

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