大型运算符提示表达式的信息,或者表示对求值项进行某些操作。
∑\sum∑:求和符号
∑\sum∑是最经典的大型运算符。
∑\sum∑符号表示求和。可能会带有上标,下标。
∑\sum∑最基础的用法是这样:
这表示枚举整数i∈[1,n],对求出所有ai的和:
在一些格式(如Latex)中难以打出上标、下标,因此也可以写成右上标、右下标的格式:∑i=1nai\sum_{i=1}^n a_i∑i=1nai
这里的上标表示i<=n,而不是连续求值n项。
∑\sum∑可以有这些参数:
一般,下标指定了一个枚举下界,上标指定了一个枚举上界。
上下标都是可有可无的,但是必须要有求值项。
有时候,下标足以表示枚举范围,就没有了上标。
比如这种情况:
又比如这种:
这表示对n的所有正约数求和。重复的约数只计算一次,例如:
4的约数有{1,4},{2,2}两对,但是2只计算一次:
也就是说:
方括号是埃弗森括号,用法是[p],p是一个命题。当命题为真是,艾弗森括号的值为1,否则为0.
下标也可以不提示范围:
这往往表明在上下文中提及了求和范围,因此省略了。或者是表示对所有i∈f的定义域求和。
下标也可以指出变量,之后再追加变量的范围:
为便于处理,通常使得一个∑\sum∑对应一个新指出的变量:
下标也可以表示一个命题,表示使得此命题为真的变量求值:
∑\sum∑也可以什么都不提示:
这个式子来自数论分块,由于l、r的含义较难用符号表达,因此直接不写。
事实上,∑\sum∑还可以直接引导一个集合:
∑{a1,b4,c}=a1+b4+k\sum\{a_1,b_4,c\}=a_1+b_4+k∑{a1,b4,c}=a1+b4+k
由∑\sum∑引导的式子称为和式。
∏\prod∏:连乘积
这个符号表示将a的[1,n]项都乘起来,有着与∑\sum∑类似的用法。
其他大型运算符
这里记录了一些其他大型运算符。
集合大型运算符:⋂\bigcap⋂ ⋃\bigcup⋃
余积:⨿\amalg⨿
积分符号。
定义大型运算符:
大型运算符也可以自己定义。
定义的方法是,把原有符号写大,可以写上下标。
这样就表示从序列a的[l,r]区间中取最大值:
这样就表示求[1,n]异或和:
大型运算符的作用范围
一般来说,如果没有括号,大型运算符一直计算到式子末尾。如果有括号括住大型运算符,大型运算符计算括号内的所有东西。
例如:
∑i=1naibi+f(i−1)+3+∏j=1mcj=∑i=1n(aibi+f(i−1)+3+∏j=1mcj)\sum_{i=1}^na_ib_i+f(i-1)+3+\prod_{j=1}^m c_j=\sum_{i=1}^n(a_ib_i+f(i-1)+3+\prod_{j=1}^m c_j)∑i=1naibi+f(i−1)+3+∏j=1mcj=∑i=1n(aibi+f(i−1)+3+∏j=1mcj)
有括号只计算自己括号内的:
(∑i=1ai)+(∑j=1bj)(\sum_{i=1}a_i)+(\sum_{j=1}b_j)(∑i=1ai)+(∑j=1bj)
然而,有些时候为了简洁,如果能明确求和次序,那括号可以不写:
(∑i=1ai)+(∑i=1bici)=∑i=1ai+∑i=1bici(\sum_{i=1}a_i)+(\sum_{i=1}b_i^{c_i})=\sum_{i=1}a_i+\sum_{i=1}b_i^{c_i}(∑i=1ai)+(∑i=1bici)=∑i=1ai+∑i=1bici
这里变量i被声明了两次,显然左右两个和式是并列计算的关系,而不是嵌套计算。
另一些大型运算符
为了接下来的行文简洁,我们定义I\mathbb{I}I或表示循环记号。用法是:
Ii=1n\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}i=1In来表示按照下标顺次展开元素,比如:
Ii=1n{ai⋅xi=bi⇔{a1⋅x1=b1a2⋅x2=b2...an−1⋅xn−1=bn−1an⋅xn=bn\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix}
a_i\cdot x_i =b_i
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a_1\cdot x_1=b_1\\
a_2\cdot x_2=b_2\\
...\\
a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\
a_n\cdot x_n=b_n
\end{matrix}\right.i=1In{ai⋅xi=bi⇔⎩⎨⎧a1⋅x1=b1a2⋅x2=b2...an−1⋅xn−1=bn−1an⋅xn=bn
又如:
Ii=1m(min)⇔(m1,m2,...,mm−1,mm n)\overset{m}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left(_{m_i}^{n}\right) \Leftrightarrow \left(^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n}_{m_1,m_2,...,m_{m-1},m_m}\right)i=1Im(min)⇔(m1,m2,...,mm−1,mmn)
有时候有箭头表示展开方向:
Ii=1n{↓ai⋅xi=bi⇔{a1⋅x1=b1a2⋅x2=b2...an−1⋅xn−1=bn−1an⋅xn=bn\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix}
\downarrow a_i\cdot x_i =b_i
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a_1\cdot x_1=b_1\\
a_2\cdot x_2=b_2\\
...\\
a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\
a_n\cdot x_n=b_n
\end{matrix}\right.i=1In{↓ai⋅xi=bi⇔⎩⎨⎧a1⋅x1=b1a2⋅x2=b2...an−1⋅xn−1=bn−1an⋅xn=bn
Ii=1n{↑ai⋅xi=bi⇔{an⋅xn=bnan−1⋅xn−1=bn−1...a2⋅x2=b2a1⋅x1=b1\overset{n}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}}\left\{\begin{matrix} \uparrow a_i\cdot x_i =b_i \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_n\cdot x_n=b_n\\ a_{n-1}\cdot x_{n-1}=b_{n-1}\\ ...\\ a_2\cdot x_2=b_2\\ a_1\cdot x_1=b_1 \end{matrix}\right.i=1In{↑ai⋅xi=bi⇔⎩⎨⎧an⋅xn=bnan−1⋅xn−1=bn−1...a2⋅x2=b2a1⋅x1=b1
Ii=1m(mi←n)⇔(mm,mm−1,...,m2,m1 n)\overset{m}{\underset{i=1}{\mathbb{I}}} \left(_{\underleftarrow{m_i}}^{n}\right) \Leftrightarrow \left(^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n}_{m_m,m_{m-1},...,m_2,m_1}\right)i=1Im(min)⇔(mm,mm−1,...,m2,m1n)
后记
于是皆大欢喜。