本文介绍了威尔逊定理，一个简单的数论定理，特别是关于质数的性质。当正整数p为质数时，(p-1)! ≡ p-1 (mod p)。文章通过证明该定理，并利用其解决求(n-1)! mod n的问题，探讨了在n为质数、完全平方数和合数时的不同情况，提供AC代码示例。
作为数论四大定理中的一员，威尔逊定理可谓是最简单的一个定理了。虽然它的用处也不想欧拉定理或中国剩余定理那么广泛，但是，我们也必须要了解威尔逊定理，因为没有了它，很多题目都会将你深深的折磨的。那我们现在就开始威尔逊定理的学习吧：
威尔逊定理
若正整数 ppp 为质数，那么：
(p−1)!≡p−1(modp) (p - 1)! \equiv p - 1 \pmod p (p−1)!≡p−1(modp)
形式的确十分的简单，那么我们该如何证明它呢？
- 首先，由于 ppp 是质数，那么 1∼p−11 \sim p - 11∼p−1 中的值一定存在模 ppp 意义下的乘法逆元
- 那么对于任意的 x(2≤x≤p−2)x (2 \leq x \leq p - 2)x(2≤x≤p−2)，(p−1)!(p - 1)!(p−1)! 里必定包含了它的逆元，乘起来结果就为 111。
- 但是稍加计算后发现 111 的逆元和 p−1p - 1p−1 的逆元都是他们本身，它们就没有被消掉，最后的结果也就是它们的乘积 p−1p - 1p−
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