练习题 期望dp

题目

分析：

首先注意到期望有线性性：
$E(a+b)=E(a)+E(b)$，其中$a$、$b$不要求相互独立。

因为网上很多地方的证明不严谨，所以这里证明一下：

$E(a+b)=\sum _{i}i\cdot P(i=a+b)$

注意到$P(i=a+b)=\sum _{\alpha }P(\alpha =a)\cdot P(i-\alpha =b|\alpha =a)$，这是因为加法、乘法原理。

因而有：
$E(a+b)=\sum _{i}i\cdot \sum _{\alpha }P(\alpha =a)\cdot P(i-\alpha =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }(\alpha +\beta )P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)$
$=\sum _{\alpha }\sum _{\beta }\alpha P(\alpha =a)\cdot P(\beta =b|\alpha =a)+\sum _{\alpha }$