题目
分析：
首先注意到期望有线性性：
E(a+b)=E(a)+E(b)E(a+b)=E(a)+E(b)E(a+b)=E(a)+E(b)，其中aaa、bbb不要求相互独立。
因为网上很多地方的证明不严谨，所以这里证明一下：
E(a+b)=∑ii⋅P(i=a+b)E(a+b)=\underset{i}\sum i\cdot P(i=a+b)E(a+b)=i∑i⋅P(i=a+b)
注意到P(i=a+b)=∑αP(α=a)⋅P(i−α=b∣α=a)P(i=a+b)=\underset{\alpha}\sum P(\alpha=a)\cdot P(i-\alpha=b|\alpha=a)P(i=a+b)=α∑P(α=a)⋅P(i−α=b∣α=a)，这是因为加法、乘法原理。
因而有：
E(a+b)=∑ii⋅∑αP(α=a)⋅P(i−α=b∣α=a)E(a+b)=\underset{i}\sum i\cdot \underset{\alpha}\sum P(\alpha=a)\cdot P(i-\alpha=b|\alpha=a)E(a+b)=i∑i⋅α∑P(α=a)⋅P(i−α=b∣α=a)
=∑α∑β(α+β)P(α=a)⋅P(β=b∣α=a)= \underset{\alpha}\sum\underset{\beta}\sum(\alpha+\beta)P(\alpha=a)\cdot P(\beta=b|\alpha=a)=α∑β∑(α+β)P(α=a)⋅P(β=b∣α=a)
=∑α∑βαP(α=a)⋅P(β=b∣α=a)+∑α∑ββP(α=a)⋅P(β=b∣α=a)= \underset{\alpha}\sum\underset{\beta}\sum\alpha P(\alpha=a)\cdot P(\beta=b|\alpha=a)+ \underset{\alpha}\sum\underset{\beta}\sum\beta P(\alpha=a)\cdot P(\beta=b|\alpha=a)=α∑β∑αP(α=a)⋅P(β=b∣α=a)+α∑
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