树上启发式合并（DSU on Tree）

前言

树上启发式合并是一种暴力算法的优化，主要优化的是暴力算法的“合并”过程，其思路主要是：如果节点x的信息能通过它的子树合并得来，那么我们可以选择一棵子树的信息（这样这颗子树就不用再遍历一遍了），把其他子树的信息暴力合并过来，就变成了节点x的信息。

我们一般选择重儿子作为预先的信息。这样将获得O(nlogn)的复杂度，这是因为会暴力统计轻儿子的信息，而一个节点到根节点最多有log(n)条轻边，所以每一个节点最多会被暴力统计log次，总共就是O(nlogn)。

所以说，树上启发式合并（DSU on Tree）的关键在于继承重儿子的信息，如果在统计过程中，又暴力统计的重儿子，那么复杂度就错了。

例题

具体过程直接截孙铭远的课件了：


代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> a;
int h[100005],size[100005],son[100005];
int n;
int dfs1(int u,int fa) {
	size[u]=1;
	for(auto&v:a[u]) {
		if(v==fa) continue;
		size[u]+=dfs1(v,u);
		if(size[son[u]]<size[v]) son[u]=v;
	}
	return size[u];
}
int t[100005],queue[100005],top;
int maxx[100005];
long long ans[100005];
void calc(int u,int k) {
	t[h[u]]++;
	if(t[h[u]]>maxx[k]) ans[k]=h[u],maxx[k]=t[h[u]];
	else if(t[h[u]]==maxx[k]) ans[k]+=h[u];
}
void dfs3(int u,int fa,int k) {//统计 
	calc(u,k);
	for(auto&v:a[u])
		if(v^fa)
			dfs3(v,u,k);
}
void dfs4(int u,int fa) {//清空 
	t[h[u]]--;
	for(auto&v:a[u])
		if(v^fa)
			dfs4(v,u);
}
void dfs5(int u,int fa) {//求解 
	for(auto&v:a[u]) 
		if(v^fa&&v^son[u])
			dfs5(v,u),dfs4(v,u);
	if(son[u]) dfs5(son[u],u);
	ans[u]+=ans[son[u]];
	maxx[u]=maxx[son[u]];
	for(auto&v:a[u]) 
		if(v^fa&&v^son[u])
			dfs3(v,u,u);
	calc(u,u);
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
	for(int i=0;i<=n;i++) a.push_back({});
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		a[u].push_back(v);
		a[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1,0);
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//		cout<<size[i]<<' '<<son[i]<<endl;
	dfs5(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<ans[i]<<' ';
    return 0;
} 

1. 不要忘了继承重儿子的信息
2. 还是说，保证重儿子只会走一遍，否则复杂度就是错的

后记

于是皆大欢喜。