dsu on tree(树上启发式合并)简介(codeforces 600 E)

最新推荐文章于 2024-10-24 21:22:52 发布

forezxl

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分类专栏：其他网站数据结构---其他树相关算法/总结/游记蒟蒻zxl的Blog专栏文章标签： codeforces 树上启发式合并

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a1799342217/article/details/78824808

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这篇博客介绍了树上启发式合并算法，主要用于解决统计树上具有特定特征节点的问题。文章以codeforces 600 E题目为例，对比了暴力方法、平衡树启发式合并和DSU on Tree（轻重链剖分）三种方法，其中DSU on Tree的复杂度为O(nlogn)，能有效优化求解效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

推荐这篇文章，这里只是简介

算法用途

主要解决像统计树上一个节点的子树中具有某种特征的节点数这种问题。

算法实现

我们以codeforces 600 E为例

暴力

对于这种问题，最简单的方法就是每次暴力统计其子树，然后再暴力删去数据。复杂度 $O(n^2)$ 。
很明显，暴力跑得慢的原因就是它多删、统计了很多次。

平衡树启发式合并

每个节点建一棵平衡树，每次保留最大的子树，把小的子树合并到大的上去。复杂度 $O(nlog^2n)$ ，可以卡过这道题。

dsu on tree(轻重链剖分)

暴力消去轻儿子的影响，每次保留重儿子。根据树剖的性质可以知道每次复杂度是 $O(logn)$ 的，因此总复杂度为 $O(nlogn)$

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
struct edge{
    int next,to;
}ed[N<<1];
int n,m,k,co,fa[N],sz[N],to[N],c[N],h[N],num[N];
//fa[],sz[],to[]是树剖的各种量,h[]为邻接表,c[]为颜色,num[]为该颜色出现的次数
LL ans[N],sum;
bool v[N];
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; return *l++;
}
inline int _read(){
    int x=0; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) ch=readc();
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-48,ch=readc();
    return x;
}
void addedge(int x,int y){
    ed[++k].next=h[x],ed[k].to=y,h[x]=k;
}
void dfs1(int x){//第一次DFS把重儿子求出来
    sz[x]=1;
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa[x]){
            int v=ed[i].to;
            fa[v]=x,dfs1(v),sz[x]+=sz[v];
            if (sz[to[x]]<sz[v]) to[x]=v;
        }
}
void nsrt(int x,int f){//统计并修改
    num[c[x]]+=f;
    if (f>0&&num[c[x]]>=co){
        //如果当前颜色次数大于等于现在的颜色
        //这道题等于的也要统计进去
        if (num[c[x]]>co) sum=0,co=num[c[x]];//如果比当前的大了需要重新计算
        sum+=c[x];
    }
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa[x]&&!v[ed[i].to])
            nsrt(ed[i].to,f);
}
void dfs2(int x,bool f){
    //第二次DFS统计答案
    //f表示这次统计是否保留
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa[x]&&ed[i].to!=to[x])
            dfs2(ed[i].to,0);//优先处理轻儿子
    if (to[x]) dfs2(to[x],1),v[to[x]]=1;
    //接着处理重儿子,v[]表示是否需要统计
    nsrt(x,1),ans[x]=sum;//统计并修改影响
    if (to[x]) v[to[x]]=0;
    if (!f) nsrt(x,-1),co=sum=0;//不保留要改回来
}
int main(){
    n=_read();
    for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=_read();
    for (int i=1;i<n;i++){
        int u=_read(),v=_read();
        addedge(u,v),addedge(v,u);
    }
    dfs1(1),dfs2(1,0);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%I64d ",ans[i]);
    return 0;
}