SLAM基础之李群和李代数

在做SLAM研究的时候，会涉及到对旋转矩阵求导的问题。然而矩阵求导中多个变换矩阵相加问题很难解决，这时候需要使用矩阵李群的知识，将旋转或者变换等矩阵李群形式，映射到李代数上求解。

李群和李代数

群的概念：群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。

记集合为A，运算为 · ，那么当运算满足以下性质时，称 (A, · )成群：

我们可以根据群的概念验证得到：

（1）旋转矩阵集合与矩阵乘法构成群

（2）变换矩阵集合与矩阵乘法构成群

在SLAM当中，我们常用到的群一般有特殊正交群和特殊欧氏群两种

李群

李群主要是指：

具有连续（光滑）性质的群。既是群也是流形。

直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。

但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。所以我们引出了李代数的概念。

李代数

李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。事实上是李群单位元处的正切空间。

我们通过旋转矩阵来引出李代数，考虑任意旋转矩阵R，满足

令R随时间变化（连续运动），有：

两侧对时间求导，可得：