求弦长或线段长

前言

求弦长问题，常见于直线和圆，直线和椭圆，直线和双曲线，直线和抛物线相交所形成的弦的长度问题。

弦长公式

• 直角坐标系下，针对直线和曲线的普通方程，$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$，推导过程¹

• 直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程，$|AB|=|t_1-t_2|$，

• 极坐标系下，针对点$O$，$A$，$B$三点共线的情形，$|AB|=|{\rho }_A-{\rho }_B|$

直线和圆

• 求直线和圆的弦长常用方法；其中以几何方法最为简单。

①几何方法；利用弦心距、半弦长、半径所形成的$Rt\Delta$求解，还用到点到直线的距离公式。弦长$=2\sqrt{R^2-d^2}$;

②弦长公式；$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，运算量稍大一些；

③直线的参数方程法；$|AB|=|t_1-t_2|$，此时需要注意直线的参数方程必须是标准形式，这种方法不太好理解。

【2019届凤中高三理科月考1第22题】在平面直角坐标系$xoy$中，直线$l$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}$($t$为参数)，以原点为极点，以$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$的极坐标方程为${\rho }^2$$-4\rho \cdot \sin \theta -12=0$，

(1)、 求$\odot C$的参数方程；

分析：将${\rho }^2=x^2+y^2$，$y=\rho \cdot sin\theta$，代入$\odot C$的极坐标方程${\rho }^2-4\rho sin\theta -12=0$，

得到$\odot C$的直角坐标方程为$x^2+y^2-4y-12=0$，即$x^2+(y-2{)}^2=16=4^2$，

故$\odot C$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=4cos\theta \\ y=2+4sin\theta \end{array}$ ($\theta$为参数，$\theta \in [0，2\pi )$)。

(2)、求直线$l$被$\odot C$截得的弦长。

【法1】几何方法，利用$Rt\Delta$求解，将直线$l$的参数方程消参，得到其普通方程为$2x-y-3=0$，

则圆心$(0，2)$到直线的距离为$d=\frac{|-2-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$，

则直线$l$被$\odot C$截得的弦长为$2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4^2-(\sqrt{5}{)}^2}=2\sqrt{11}$。

【法2】弦长公式，设直线和圆的交点为$A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)$，

联立得到方程组，$\{\begin{array}{l}2x-y-3=0\\ x^2+y^2-4y-12=0\end{array}$

消去$y$得到，$x^2+(2x-3{)}^2-4(2x-3)-12=0$，整理得到，$5x^2-20x+9=0$，

由韦达定理得到，$x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=\frac{9}{5}$，

由弦长公式得到，$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$$=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{5}\sqrt{16-\frac{36}{5}}=2\sqrt{11}$。

【法3】利用直线的参数方程求解，需要先判断参数方程是否为标准形式；若不是，还需要转化为标准形式。

直线$l$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\end{array}(t为参数)$，

(此时千万要注意，弦长$|AB|\ne |t_1-t_2|$，原因是这个参数方程不是标准形式的)

将其做如下的转化，

$\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t\\ y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t\end{array}(t为参数)$，

令$\sqrt{5}t=m$，则其参数方程的标准形式为

$\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot m\\ y=1+\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot m\end{array}(m为参数)$，

[此时参数$m$的几何意义才是动点到定点的距离的数量，千万要注意，即弦长$|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{1^2+2^2}|t_1-t_2|$]

将直线$l$的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，

$(2+\frac{1}{\sqrt{5}}m{)}^2+(1+\frac{2}{\sqrt{5}}m{)}^2-4(1+\frac{2}{\sqrt{5}}m)-12=0$

整理为$m^2-11=0$，令直线和圆的两个交点$A，B$分别对应的参数为$m_1，m_2$，

则 m 1 + m 2 =