高中数学中的射影定理

前言

在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。

射影定理1

直角三角形射影定理，又叫欧几里德(Euclid)定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

符号语言：如图，$Rt△ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有射影定理如下：

$$➊A{D}^2=BD\cdot DC$$

$$➋A{B}^2=BD\cdot BC$$

$$➌A{C}^2=CD\cdot BC$$

证明：这主要是由相似三角形来推出的，

例如，证明$A{D}^2=BD\cdot DC$，

在$△BAD$与$△ACD$中，$\angle B=\angle DAC$，$\angle BDA=\angle ADC=90°$，

故$△BAD\sim △ACD$，所以 $\frac{AD}{BD}＝\frac{CD}{AD}$，

所以得到，$A{D}^2=BD\cdot DC$. 其余仿此证明；

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

比如由公式➋+➌得到，

$A{B}^2+A{C}^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=B{C}^2$，

即$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$，这就是勾股定理的结论。

射影定理2

任意三角形射影定理注释：以“$a$$＝$$b\cdot \cos C$$＋$$c\cdot \cos B$”为例，$b$、$c$在$a$上的射影分别为$b\cdot \cos C$、$c\cdot \cos B$，故名射影定理。，又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语言：设$△ABC$的三边是$a$、$b$、$c$，它们所对的角分别是$A$、$B$、$C$，则有：

$➊a＝b\cdot \cos C$$+$$c\cdot \cos B$

$➋b＝c\cdot \cos A$$+$$a\cdot \cos C$

$➌c＝a\cdot \cos B$$+$$b\cdot \cos A$

[证法1]：设点$C$在直线$AB$上的射影为点$D$，

则$AC$、$BC$在直线$AB$上的射影分别为 A D