数学归纳法

前言

由于不完全归纳法涉及归纳的是有限项的结论，故不一定可靠，但省时省力；而完全归纳法涉及归纳的是无限项的结论，故结论可靠但操作性不强，这时候就需要横空出世一个用有限来驱动无限的方法，就是数学归纳法。

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数学归纳法

一般地，证明一个与正整数$n$有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当$n$取第一个值$n_0(n_0\in N^{\ast })$时命题成立；

(2)归纳递推：假设当$n＝k(k⩾n_0，k\in N^{\ast })$时命题成立，推出当$n=k+1$时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立．上述证明方法叫做数学归纳法。

注意事项

• 凡是与自然数有关的命题，或探索性问题都可以使用数学归纳法来证明。
• 两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推。
• 第一步的初值不一定是$n_0=1$，还有可能是$n_0=2$或$n_0=3$，比如涉及到多边形的问题时，其初值往往为$n_0=3$。
• 第二步在证明$n=k+1$时命题成立的时候，必须使用$n=k$时的归纳假设，否则绕过归纳假设得出的结论就是不可靠的，是错误的。
• 数学归纳法的难点其一，就是从$n=k$到$n=k+1$时的项数的变化情况，大多情况下，增加项数为$1$项，但不是所有题目都增加的项数为$1$项，当$k$在指数位置时，增加的项数往往不止一项。
• 在证明$n=k＋1(k\in N^{\ast }，k\ge n_0)$时命题成立的常用技巧：

①分析$n＝k＋1$时命题与$n＝k$ 时命题形式的差别，确定证明目标。

②证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方、通分等等变形技巧，证明不等式时常用分析法、综合法、放缩法、做差法等。

③可能用到公式：$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$，$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，

题型总结

• A、能证明代数恒等式
• B、证明不等式
• C、证明整除问题
• D、证明几何问题
• E、用于求数列的通项公式【归纳$\Rightarrow$猜想$\Rightarrow$证明】

典例剖析

【证明代数恒等式】如已知$n\in N^{\ast }$，证明$1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots +(n-1)\cdot 2+n\cdot 1=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$

证明：用数学归纳法证明，

$1^{\circ }$ 当$n=1$时，左=$1$，右=$\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$，等式成立。

$2^{\circ }$ 假设$n=k(k\ge 1,k\in N^{\ast })$等式成立，

则$1\cdot k+2\cdot (k-1)+3\cdot (k-2)+\cdots +(k-1)\cdot 2+k\cdot 1=\frac{1}{6}k(k+1)(k+2)$

当$n=k+1$时，

$1\cdot (k+1)+2\cdot [(k+1)-1]+3\cdot [(k+1)-2]+\cdots +[(k+1)-1]\cdot 2+(k+1)\cdot 1$

$=1\cdot k+2\cdot (k-1)+3\cdot (k-2)+\cdots +(k-1)\cdot 2+k\cdot 1+[1+2+3+\cdots +k+(k+1)]$

$=\frac{1}{6}k(k+1)(k+2)+\frac{(1+k+1)(k+1)}{2}$

$=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(k+3)$

$=\frac{1}{6}(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]$

即$n=k+1$时，等式成立，

综上可知，对$\forall n\in N^{\ast }$，$1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots +(n-1)\cdot 2+n\cdot 1=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$都成立。

【宝鸡中学2017年高三理科第一次月考第19题】【归纳$\Rightarrow$猜想$\Rightarrow$证明】是否存在常数$a$、$b$，使得$2$$+4$$+6$$+$$\cdots$$+2n$$=a{n}^2$$+bn$对一切$n\in N^{\ast }$恒成立？若存在，求出$a,b$的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由。

分析：由等差数列的前$n$项和公式可知，$2+4+6+\cdots +2n=\frac{(2+2n)n}{2}=n^2+n$，

故猜想存在实数$a=b=1$，使得$2+4+6+\cdots +2n=n^2+n$对一切$n\in N^{\ast }$恒成立。

解析：存在实数$a=b=1$，使得$2+4+6+\cdots +2n=n^2+n$对一切$n\in N^{\ast }$恒成立。

以下用数学归纳法证明。

$1^{。}$当$n=1$时，左式$=2$，右式$=1^2+1=2$，故等式成立；

$2^{。}$假设当$n=k(k⩾1)$时等式成立，即$2+4+6+\cdots +2k=k^2+$