高中数学弦长公式

前言

在高中数学中，经常会碰到求线段长度或者直线与曲线相交得到的弦的长度，所用到的求解公式与所处的坐标系和采用的方法都有关。不同的坐标系下，弦长公式有不同的刻画形式。

弦长公式1

【公式】：$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$， 推导过程¹

【使用条件】：在直角坐标系下使用，针对直线的普通方程和曲线的普通方程，说明：$k$ 为直线的斜率，直线和曲线的交点为 $A(x_1，y_1)$ ， $B(x_2，y_2)$ ；

直线为 $l:2x-y-3=0$，曲线为 $C：x^2+y^2-4y-12=0$，求直线$l$被$\odot C$截得的弦长。

设直线和圆的交点为$A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)$，

联立得到方程组，$\{\begin{array}{l}2x-y-3=0\\ x^2+y^2-4y-12=0\end{array}$

消去$y$得到，$x^2+(2x-3{)}^2-4(2x-3)-12=0$，整理得到，$5x^2-20x+9=0$，

由韦达定理得到，$x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=\frac{9}{5}$，

由弦长公式得到，$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$$=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{5}\sqrt{16-\frac{36}{5}}=2\sqrt{11}$。

弦长公式2

【公式】：$|AB|=|t_1-t_2|$，可以类比一维数轴上的两点间的距离公式来理解；

【使用条件】： 在直角坐标系下，针对直线的参数方程和曲线的普通方程使用，还要注意直线的参数方程在使用时必须验证其是否为标准形式。说明：其中点 $A$，$B$ 为直线和曲线的交点，直线上的点 $A$，$B$ 所对应的参数分别为 $t_1$和 $t_2$ .

【北师大选修教材4-4 $P_{{}_{53}}$ $A$组第 $8$ 题】 求直线 $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=2+\frac{t}{2}\end{array},$ ( $t$ 为参数) 被曲线 $y^2-3x^2=0$ 截得的线段长.

解析：将直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t\\ y=2+\frac{t}{2}\end{array}$ ($t$ 为参数)代人曲线方程 $y^2-3x^2=0$，

得 $t^2-t-2=0$，解得 $t_1=2$， $t_2=-1$，

由参数的儿何意义知，截得的线段长为 $|t_1-t_2|=|2-(-1)|=3$.

【北师大选修教材4-4 $P_{{}_{53}}$ $A$组第 $9$ 题】求抛物线 $y^2=3x$ 截直线 $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3t\end{array},$( $t$ 为参数) 所得的弦长.

解析：直线的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3t\end{array}$ 可以化成 $\{\begin{array}{l}x=1+\frac{2}{\sqrt{13}}(\sqrt{13}t)\\ y=\frac{3}{\sqrt{13}}(\sqrt{13}t)\end{array},$

将直线方程 $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3t\end{array},$ 代人 $y^2=3x$，

得 $3t^2-2t-1=0$， 解得 $t_1=-\frac{1}{3},t_2=1$，

由参数的儿何意义知,所得的弦长为 $\sqrt{13}|t_2-t_1|=\frac{4\sqrt{13}}{3}$.

弦长公式3

【公式】$AB=$