函数对称性的应用及判断

前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的对称性习题；

常见结论

• 注意：此时只涉及一个函数，是函数自身具有的对称性，而不是两个函数之间的对称；

1、若函数$y=f(x)$关于原点$(0，0)$对称，则$f(-x)=-f(x)$或$f(x)+f(-x)=0$，反之亦成立；

2、若函数$y=f(x)$关于直线$x=a$对称，则$f(a+x)=f(a-x)$，反之亦成立；

3、若函数$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$，则其图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称，反之亦成立；

4、若函数$y=f(x)$图像是关于点$A(a，b)$对称，则充要条件是$f(x)+f(2a-x)=2b$。

给出方式

• 1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。

• 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；

比如奇函数，$f(-x)=-f(x)$或者$f(-x)+f(x)=0⟹$ 对称中心为$(0，0)$

比如偶函数，$f(-x)=f(x)$或者$f(-x)-f(x)=0⟹$ 对称轴为$x=0$

• 3、以奇偶性的拓展形式给出；

比如$f(2+x)+f(-x)=2$，则对称中心为$(1，1)$；

比如$f(x)=f(4-x)$，则对称轴为$x=2$，原因解释

• 4、以周期性+奇偶性的形式给出；

如，已知函数$f(x)$是奇函数，且满足$f(x+4)=-f(x)$，

则由$\begin{array}{c}f(x+4)=-f(x)\\ f(-x)=-f(x)\end{array}$ $\}⟹f(x+4)=f(-x)⟹$对称轴是$x=2$

对称性应用

【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-$ $f(x)$，若函数$y=\frac{x+1}{x}$与函数$y=f(x)$图像的交点为$(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则$\sum _{i=1}^m(x_i+y_i)$的值为【 \qquad 】

$A.0$ B . m B.m