参数方程消参法

前言

消参的常用方法有：代入消参法，加减消参法，乘除消参法，平方消参法[或变形后平方消参]，组合消参法等。其实说穿了，就是采用一级运算[加减]或二级运算[乘除]或三级运算[乘方开方]或其组合使用；

方法例说

• 代入消参法

引例如，直线$\{\begin{array}{l}x=1+t①\\ y=2-t②\end{array}(t为参数)$，

将$t=x-1$代入②，得到$y=2-(x-1)$，

即$x+y-3=0$，代入消参完成。

• 加减消参法

依上例，两式相加，得到$x+y-3=0$，加减消参完成。

• 乘除消参法

引例1如，$\{\begin{array}{l}x=tcos\theta ①\\ y=tsin\theta ②\end{array}(t为参数)$ ，

针对要作分母的$cos\theta$分类讨论如下：

当$cos\theta =0$时，直线为$x=0$；

当$cos\theta \ne 0$时，由$\frac{②}{①}$，两式相除得到$y=tan\theta \cdot x$

引例2如，$\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\ y=\frac{1}{k}(x+2)\end{array}(k为参数)$

两式相乘，消去参数$k$，得到$y^2=x^2-4(y\ne 0)$，¹

• 平方消参法

引例如，圆的参数方法$\{\begin{array}{l}x=1+2cos\theta ①\\ y=2+2sin\theta ②\end{array}(\theta 为参数)$，

先变形为$\{\begin{array}{l}x-1=2cos\theta ①\\ y-2=2sin\theta ②\end{array}(\theta 为参数)$，

①②两式同时平方，再相加，得到

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$，到此平方消参完成。

• 组合法

引例如，曲线的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2s^2①\\ y=2\sqrt{2}s②\end{array}(s为参数)$，

• 法1，使用代入消参法，由②得到$s=\frac{y}{2\sqrt{2}}$，

代入①整理得到，$y^2=4x$；

• 法2，平方法+除法消参法，由$\frac{{②}^2}{①}$，整理得到，$y^2=4x$；

再如曲线的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}①\\ y=t+\frac{1}{t}②\end{array}(t为参数)$，

分析：给①式平方得到，$x^2=t^2+\frac{1}{t^2}-2③$，

给②式平方得到，$y^2=t^2+\frac{1}{t^2}+2④$，

$④-③$，得到$y^2-x^2=4$，消参完成，

本题使用了平方消参法和加减消参法。

消参关系式

① $t\cdot \frac{1}{t}=1$；

② $(t+\frac{1}{t}{)}^2-(t-\frac{1}{t}{)}^2=4$； 令 $t\Rightarrow e^t$，即得到 ④ 式；

③ $(\frac{2t}{1+t^2}{)}^2+(\frac{1-t^2}{1+t^2}{)}^2=1$；²

④ $(e^t+e^{-t}{)}^2-(e^t-e^{-t}{)}^2=4$；

注意事项

• 参数方程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这一点常常与我们学习的函数的值域有关。举例如下：

参数方程$\{\begin{array}{l}x=3t^2+2\\ y=t^2-1\end{array}(0\le t\le 5)$表示的曲线为______________.

分析：用带入法消掉参数$t$，得到其普通方程为$x=3(y+1)+2$，即$x-3y-5=0$。这是直线。

但是，参数$t$有范围，故$x$和$y$都应该有范围。

比如，$x=3t^2+2\in [2，77]$，由于$y=\frac{x-5}{3}$是单调函数，故不需要再限制$y$的范围，

即表示的曲线为$x-3y-5=0(2⩽x⩽77)$，即为一条线段。

曲线$C$的极坐标方程为${\rho }^{2}cos2\theta =4(\rho >0，\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4})$，求其普通方程。

分析：由题目可知，${\rho }^2(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta )=4$，

即$x^2-y^2=4$，即$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$，等轴双曲线，有左右两支；

但是题目要求$\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$，则符合题目的只有双曲线的左支，

故其普通方程为$x^2-y^2=4(x\le -2)$

说明：极坐标方程也存在等价问题。

曲线$C$的参数方程为 { y = k ( x − 2 ) y = 1 k ( x + 2 ) ( k 为参数 ) \begin{cases}y=k(x-2)\\y=\cfrac{1}{k}(x+2)\end{cases}(k为参数) ⎩ ⎨