凸优化第九章无约束优化　9.1无约束优化问题

最新推荐文章于 2025-04-10 16:45:22 发布

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分类专栏：凸优化

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本文深入探讨无约束优化问题，特别是针对二次可微凸函数的情况。内容涉及最优点的性质、初始点的选择、下水平集的条件数、几何规划的最优性条件以及线性不等式的解析中心。同时，文章阐述了强凸性的概念及其对优化过程的影响。

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9.1无约束优化问题

例子
强凸性及其含义

无约束优化问题

$minimize \,\, f(x)$ 其中 $f:R^n \rightarrow R$ 是二次可微凸函数（dom(f)是开集），假设该问题可解，存在最优点 $x^*$ ，这里用 $p^*$ 表示最优值 $inf_xf(x)=f(x^*)$ 。

由于f是二次可微凸函数，最优点 $x^*$ 应满足： $\bigtriangledown f(x^*)=0$

所以无约束优化问题的求解变成了求解上述方程的解。一般情况下，必须采用迭代算法求解此方程，即计算点列 $x^{(0)},x^{(1)}\cdots \in dom(f)$ 使得 $k\rightarrow \infty$ 时， $f(x^{(k)})\rightarrow p^*$ ，这样的点列被称为优化问题的极小化点列。当 $f(x^{(k)})-p^* \leq \varepsilon$ 时，算法将终止，其中 $\varepsilon >0$ 是设定的容许误差值。

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