凸优化第六章逼近与拟合 6.1范数逼近

最新推荐文章于 2025-10-14 13:11:45 发布

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本文讨论了凸优化中的范数逼近问题，包括最小二乘、Chebyshev和残差绝对值之和逼近。重点介绍了罚函数逼近，特别是Huber罚函数，它在处理异常值时表现优秀，能平衡拟合质量和稳定性。

6.1范数逼近

基本的范数逼近问题
罚函数逼近

基本的范数逼近问题

$minimize \, \,\begin{Vmatrix}Ax-b \end{Vmatrix}$

其中 $A \in R^{m\times n},m\geq n$ ，且 $\begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}$ 是 $R^m$ 一种范数。

范数逼近问题的解有时又被称为 $Ax\approx b$ 在范数 $\begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}$ 的近似解。

$r=Ax-b$ 表示问题的残差。

解释：

（1）几何解释：在A的列空间上找到一个在范数 $\begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}$ 下离b最近的点。

（2）估计的解释：假设y=Ax+v，y是测量值，v是噪声，x是待估计的参数向量。给定y=b，找到最好的估计值 $x^*$ ，使得 $\begin{Vmatrix} Ax^*-b\end{Vmatrix}$ 最小。

（3）设计的解释：x是设计变量，b是期望得到的最好的结果，而Ax是实际的结果，找到最好的设计值 $x^*$ ，使得

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