凸优化第六章逼近与拟合 6.4鲁棒逼近

最新推荐文章于 2025-10-15 16:03:02 发布

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本文探讨了鲁棒逼近的概念，包括随机鲁棒逼近和最坏情况鲁棒逼近。随机鲁棒逼近关注矩阵A作为随机变量时的目标函数优化，而最坏情况鲁棒逼近则在A的可能取值范围内寻求最小化最坏情况误差。通过举例和残差函数图像，展示了不同方法对参数不确定性的敏感性，揭示了鲁棒最小二乘解的优势。

6.4鲁棒逼近

随机鲁棒逼近
最坏情况鲁棒逼近

逼近的基本目标为 $\begin{Vmatrix} Ax-b\end{Vmatrix}$ ，但是希望考虑到矩阵A的不确定性。

随机鲁棒逼近：假设A是随机变量，极小化 $\boldsymbol{E}(\bar{A}x-b)$

最坏鲁棒逼近：在A的取值中，极小化 $\underset{A}{sup}\begin{Vmatrix} \bar{A}x-b\end{Vmatrix}$

随机鲁棒逼近

假设A是在 $R^{m\times n}$ 中取值的随机变量，均值为 $\bar{A}$ ，因此可以将A描述为 $A = \bar{A}+U$ ，U为零均值随机变量。自然地，用 $\begin{Vmatrix} Ax-b\end{Vmatrix}$ 的均值作为目标函数，即 $minimize \,\, \boldsymbol{E}\begin{Vmatrix} Ax-b\end{Vmatrix}$

这一问题称为随机鲁棒逼近问题。举一简单的例子，假设A具有有限个可能值，且 $prob(A=A_i)=p_i,i=1,2,\cdots k$ 其中 $A_i \in R^{m\times n},I^Tp=1,p\succeq 0$ ，于是问题具有如下形式：

$minimize \, \, \sum_{i=1}^kp_i\begin{Vmatrix} A_ix-b\end{Vmatrix}$

此问题称为范数和问题，，也可以表述为：

$minimize \, \,p^Tt\\ subject \,\,to \,\, \begin{Vmatrix}A_ix-b \end{Vmatrix}\leq t_i,i=1,2\cdots k$

考虑随机鲁棒最小二乘问题：

$minimize \,\,\boldsymbol{E}\begin{Vmatrix}Ax-b \end{Vmatrix}_2^2$

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