信道时频域的相位、相位旋转、相关计算（一）

前言

NR系统下行采用OFDM调制方式，在频域进行负载数据，通过IFFT变化到时域继续传输，因此接收端通常采用将接收到的时域信号通过FFT变换到频域，在频域进行信道估计，得到信道的频域响应（Channel Frequency Response，CFR），CFR包含信道的幅频特性和相频特性，对CFR作IFFT，即得到信道的时域冲击响应（ Channel Impulse Response，CIR），从CIR我们可以看到信道的多径特性、衰落特性、时延扩展特性等。
注：在带宽无限的条件下，CFR与CIR互为时域和频域的等效参数，也就是通过傅里叶变换和逆变换能够转化这两个结果，实际中的带宽是有限的，即CFR是有限点数，相当于对无线带宽的截断，因此进行IFFT得到的CIR会产生频谱泄露。

引理

相位旋转和相关

如上图，$A$的相位为${\theta }_1$,若$A$的幅度为$\alpha$，则$A=|\alpha |e^{j{\theta }_1}$，$B$的相位为${\theta }_2$,若$B$的幅度为$\alpha$，则$B=|\alpha |e^{j{\theta }_2}$，对B与A进行相关计算：
$$\begin{array}{rl}B\bullet A^{\ast }& =|\alpha |e^{j{\theta }_2}\bullet |\alpha |e^{-j{\theta }_1}\\ & =|\alpha {|}^2{e}^{j({\theta }_2-{\theta }_1)}\\ & =|\alpha {|}^2{e}^{j\theta }\end{array}$$
根据上式，$B\bullet A^{\ast }$的相位为$\theta$，表示$B$由$A$向正角度旋转$\theta$得到，也可以表示为
$$\begin{gathered} B=A\bullet e^{j\theta } \\ A=B\bullet e^{-j\theta } \end{gathered}$$
根据上述，我们可以看出，复数的相关运算表示相对的相位变化。

DFT（离散傅里叶变换）的时频移性质

时移性质

若$DFT[x(n)=X(k)]$，$y(n)$是$x(n)$的圆周移位（右移m位），即$y=x((n-m){)}_N{R}_N(n)$，则：
$$DFT[y(n)]=W^{mk}X(k)=e^{-j\frac{2\pi }{N}mk}X(k)$$

频移特性

若$DFT[x(n)=X(k)]$，则
$$DFT[x(n)W^{-ln}]=DFT[x(n)e^{j\frac{2\pi }{N}ln}]=X((k-l){)}_N{R}_N(k)$$

CFR与CIR

上图为含噪声的、带时偏的AWGN信道，N点的频域间隔为$\Delta f$的频域信道$H(n)$进行N点IDFT后得到信道的N点CIR，其幅度谱的时间长度为$\frac{1}{\Delta f}$，谱线间隔时间为$\frac{1}{N\bullet \Delta f}$.
由于CIR右移（带时偏），根据DFT时移性质，对应到频域有负相位，使用相关法在频域计算平均相位：
$$\theta =angle(\frac{H(N-1)\ast H(N-2{)}^{\ast }+...+H(2)\ast H(1{)}^{\ast }+H(1)\ast H(0{)}^{\ast }}{N-1})$$
若对频域H进行相位补偿，则：
$$\begin{array}{r}H(k)\bullet e^{j(-\theta )k}\stackrel{\phi =-\theta }{=}H(k)\bullet e^{j\phi k}=H(k)\bullet e^{j\frac{2\pi }{N}mk}\end{array}$$
其中，
$$\begin{array}{rl}& \phi =angle(\frac{H(0)\ast H(1{)}^{\ast }+H(1)\ast H(2{)}^{\ast }+...+H(N-2)\ast H(N-1{)}^{\ast }}{N-1})\\ & \overrightarrow{}\phi =\frac{2\pi }{N}m\overrightarrow{}m=\frac{\phi N}{2\pi }\end{array}$$
若计算相关值是的间隔为k，则$m=\frac{\phi N}{2\pi }\bullet \frac{1}{k}$，$m$即为CIR幅度谱中峰值的Idx，即时域移位值（根据时移性质）。

若信道为带时延的多径信道，且首径为最大径，则其CIR幅度谱如下图：

由于CIR的相位非线性，此时在频域上采用相关平均方式计算的相位为平均相位。

以上，我们分析了FIR相位、CIR时偏与相关的关系，下一节，我们将进一步分析时域相关与频偏的关系，并介绍频偏估计的相关原理。