hdu 3516 Tree Construction （四边形优化）

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四边形优化

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本文介绍了一种针对特定合并问题的动态规划优化方法——四边形优化，该方法适用于满足四边形不等式的场景。通过实例讲解如何将复杂度从O(n^3)降至O(n^2)，并提供了实现代码及四边形不等式的概念解释。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目大意】
二维平面上有n个，这些点满足
i < j时，xi < xj, yi > yj。
只用朝x轴或y轴正方向的边连起来，形成一棵树，使得所有边的长度最小。 n <= 1000
这里写图片描述

此类合并问题，如果满足四边形不等式，就可以通过四边形优化降次了。
定义状态 dp[i,j]表示点i到点j合并在一起的最小花费（树枝的长度），状态转移方程：dp[i,j]= min(dp[i,k]+dp[k+1,j]+cost(i,j) ) i < k < j， cost(i,j)=py[k]-py[j]+px[k+1]-px[i];
证明：
F(i)=cost(i,j+1)-cost(i,j)=py[j]-py[j+1]是一个与i无关的多项式，
所以j固定时，F(i)满足四边形不等式。
s[i,j]=k; s[i-1,j] <= s[i,j] <= s[i,j+1];
由于决策s具有单调性,因此状态转移方程可修改为:
dp[i,j]= min(dp[i,k]+dp[k+1,j]+cost(i,j) ) s[i-1,j] <=k<= s[i,j+1];
复杂度降到o(n^2)（原来从i…j-1枚举k, 优化后只需要从s[i,j-1]到s[i+1,j]枚举k就可以了。其中s[i,j]指dp[i,j]取最优解的分割点，这样复杂度就变成O(n2)啦！
）
dp[i][j]=MIN(dp[i][k]+dp[k+1][j]+x[k+1]-x[i]+y[k]-y[j] i<=k<=j

#include <iostream>
#include <cstdio>  
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring> 
#define LL long long 
#define inf 0x3f3f3f3f 
using namespace std; 

const int N = 1005;

int dp[N][N], s[N][N];  

struct Node{  
    int x, y;  
}a[N];  

int dis(int i, int j){  
    return abs(a[i].y - a[j].y) + abs(a[i].x - a[j].x);  
}  

int main(){  
    int n, m, T;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
            memset(dp, 0, sizeof(dp));  
        for(int i=1; i<=n; i++)  {
            dp[i][i+1] = dis(i,i+1);  
            s[i][i+1] = i;  
        }  
        for(int L=2; L<n; L++)  {
            for(int i=1; i+L<=n; i++)  {
                int j = i + L;
                dp[i][j] = inf;
                for(int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++)  
                    if(dp[i][j] > dp[i][k]+dp[k+1][j]+dis(i,j)-(a[i].y-a[k].y)-(a[j].x-a[k+1].x)){
                        dp[i][j] = dp[i][k]+dp[k+1][j]+dis(i,j)-(a[i].y-a[k].y)-(a[j].x-a[k+1].x);  
                        s[i][j] = k;  
                    }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    }
    return 0;  
}

补充四边形优化知识，
区间包含的单调性：
如果对于 i ≤ i’< j ≤ j’，有 w(i’,j) ≤ w(i,j’)，那么说明w具有区间包含的单调性。
可以形象理解为如果小区间包含于大区间中，那么小区间的w值不超过大区间的w值。
四边形不等式：
如果对于 i ≤ i’< j ≤ j’，有 w(i,j)+w(i’,j’)≤w(i’,j)+w(i,j’)，我们称函数w满足四边形不等式。
可以形象理解为两个交错区间的w的和不超过小区间与大区间的w的和。
下面给出两个定理：
1、如果上述的 w 函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数dp也满足四边形不等式性质。
我们再定义 s(i,j) 表示 dp(i,j) 取得最优值时对应的下标（即 i≤k≤j 时，k 处的 dp 值最大，则 s(i,j)=k）。此时有如下定理
2、假如dp(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
这两个定理证明在赵爽的《动态规划加速原理之四边形不等式》中给出了相关的证明。
有了上述的两个定理后，我们发现如果w函数满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么有 s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j) 。

以上资料摘自别处，笔者也在摸索中（会用不会证）【无奈。
这里有个推荐详解