16、傅里叶变换：原理、分辨率及应用

傅里叶变换：原理、分辨率及应用

1. 傅里叶变换的起源与重要性

法国科学家约瑟夫·B·傅里叶（Joseph B. Fourier，1768 - 1830）在热传导理论方面做出了重要贡献。1807 年，他向巴黎科学院提交了热传导理论的重要研究成果。为了促使他进一步完善理论，1812 年巴黎科学院将热传播问题设为竞赛题目，评委包括拉普拉斯、拉格朗日和勒让德。1817 年，傅里叶成为科学院成员，并在 1822 年撰写了应用数学经典著作《热的解析理论》（Théorie Analytique de la Chaleur）。他的技术革新了偏微分方程的求解方法，引领我们走向了如今最常用的信号处理操作——傅里叶变换。

2. 傅里叶变换的数学基础

傅里叶变换对的表达式如下：
[
\begin{cases}
Y(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j\omega t}dt \
y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}Y(\omega)e^{+j\omega t}d\omega
\end{cases}
]
其中，(y(t)) 是时域波形，(Y(\omega)) 是频域的傅里叶变换。它与拉普拉斯变换对有相似之处，拉普拉斯变换中的 “(j)” 因子源于变量从 “(j\omega)” 到 “(s)” 的变换。通过将 “(\omega)” 替换为 “(2\pi f)”，可以消除 “(1/2\pi)” 因子，得到：
[
\begin{cases}
Y(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-