14、小波变换与短时傅里叶变换：原理、比较与应用

小波变换与短时傅里叶变换：原理、比较与应用

1. 小波变换基础

小波变换中，若小波函数 $\psi(w)$ 具有以中心频率 $w_0$ 的良好带通响应，那么经过 $a$ 缩放后的滤波器具有中心频率 $-a^{-1}w_0$。小波变换 $X(a, b)$ 作为该滤波器在时间 $b$ 的输出，代表了信号 $x(t)$ 在频率 $-a^{-1}w_0$ 附近、时间 $b$ 附近的“频率内容”。通常忽略负号，变量 $a^{-1}$ 类似于频率的概念，在小波文献中，$|a|$ 常被称为“尺度”而非“逆频率”。

小波函数 $\psi(t)$ 需满足 $\int \psi(t)dt = 0$，这等价于 $\psi(0) = 0$，符合小波函数的带通特性。

2. 短时傅里叶变换（STFT）

2.1 STFT 的引入

在许多应用中，信号的频率会随时间变化，传统傅里叶变换无法表达这种时变频率信息。1946 年 Gabor 引入了短时傅里叶变换，通过将信号 $x(t)$ 与以时间 $\tau$ 为中心的窗口函数 $v(t - \tau)$ 相乘，然后计算其傅里叶变换：
[X(\omega, \tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)v(t - \tau)e^{-j\omega t} dt]
对不同的 $\tau$ 值重复此过程，得到一个关于时间 $\tau$ 和频率 $\omega$ 的函数。为了使 STFT 具有实用性，通常对 $\omega$ 和 $\tau$ 进行离散化，传统 STFT 中，$\omega$ 和 $\tau$ 在均匀网格上离散化：
[X_{STFT}(k\omega_s,