22、小波变换与短时傅里叶变换：原理、比较与应用

小波变换与短时傅里叶变换：原理、比较与应用

1. 小波变换的一般形式

小波变换是信号处理中的重要工具，其最一般的形式为连续小波变换（CWT），表达式如下：
[
X(a, b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi\left(\frac{t - b}{a}\right)dt
]
其中，(a)和(b)为实数，(a)通常被称为“尺度”，而非“逆频率”。当(a)和(b)为连续变量时，这就是连续小波变换，其变换域是二维域((a, b))。

若(a)和(b)取离散值，即(a = c^{-k})，(b = c^{-k}n)（(k)和(n)为整数），则称为离散小波变换（DWT）。当(c = 2)时，即(a = 2^{-k})，(b = 2^{-k}n)，这就是之前讨论的二进离散小波变换。

对于固定的(a)，上述公式是一个卷积。若将输入信号(x(t))输入到一个冲激响应为(\frac{\psi(-t/a)}{\sqrt{a}})的滤波器中，其在时间(b)的输出就是(X(a, b))。该滤波器的频率响应为(\sqrt{a}\Psi(-a\omega))。若(\psi(\omega))是一个中心频率为(\omega_0)的带通滤波器，那么上述滤波器的中心频率为(-a^{-1}\omega_0)，这意味着小波变换(X(a, b))表示了信号(x(t))在时间(b)附近频率为(-a^{-1}\omega_0)的“频率成分”。

此外，小波函数(\psi(t))需满足(\int\psi(t)dt = 0)，这等价于(\Psi(0) = 0)，与(\psi(t))的带通特性一致。