41、胜者确定的半随机复杂度分析

胜者确定的半随机复杂度分析

1. 引言

在投票规则下的胜者确定问题中，半随机复杂度分析具有重要意义。本文聚焦于多种投票规则下胜者确定的半随机复杂度，包括道奇森规则、杨格规则、钱伯林 - 柯朗规则和门罗规则等，同时证明了凯梅尼规则的难度结果和道奇森规则的半随机易处理结果，展现了不同NP难投票规则下胜者确定半随机复杂度的有趣差异。

2. 相关概率与定理

2.1 概率相关结论

已知(Pr[X_i = \frac{m - 1}{2m}] = Pr[a \prec_i b] \leq \frac{m + 1}{2m})，通过在引理4中设置(d = \frac{n}{12m})和(p = \frac{m + 1}{2m})可得到相关结论。对(A_m - {a})中的所有(m - 1)个备选方案应用联合界，有：
(Pr\left[\forall b \neq a, |{i \in [n] : a \prec_i b}| > \frac{n}{2} + \beta \text{ 或 } |{i \in [n] : a \prec\prec_i b}| < \beta\right] \leq 2(m - 1) \exp\left(-\frac{n}{72m^2}\right))
根据引理3，以至少(1 - 2(m - 1) \exp\left(-\frac{n}{72m^2}\right))的概率，贪心算法(Greedy(P, a))输出“确定”结果。

2.2 道奇森得分与凯梅尼得分复杂度

根据定理5，在((1 - \frac{1}{m})) - IC模型下，当(n = \Omega(m^2 \log^2 m))时