1、离散与连续模型中的混沌与秩序

离散与连续模型中的混沌与秩序

1 动力学秩序与混沌的共存

在动力学系统中，哈密顿系统是混沌的载体。在一定条件下，任意动态哈密顿系统的相空间包含着轨迹混合的区域，其运动可能是混沌的，也可能是规则的。然而，目前的分析和图形方法难以完全捕捉这些复杂的动力学特性。对于自由度不超过两个的系统，研究其动力学的方法相对更成功。

一个具有 $N$ 个自由度的系统，由 $N$ 对广义坐标 $(q_1, \ldots, q_N)$ 和动量 $(p_1, \ldots, p_N)$ 来描述，它们满足哈密顿运动方程：
$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$，$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$，$(i = 1, \ldots, N)$
其中，$H(p, q) \equiv H(p_1, q_1, \ldots, p_N, q_N)$ 是系统的哈密顿量。这里假设哈密顿量是时间周期函数，周期为 $T = 2\pi / \nu$，即 $H(p, q; t + T) = H(p, q, t)$。由于时间变量是额外的正则变量，这样的系统被定义为具有 $N + 1/2$ 个自由度。

对于 $N = 1 1/2$ 自由度的系统，其混沌轨迹可以通过庞加莱映射在二维相平面上展示。庞加莱映射将轨迹上的点 $(p(t_n), q(t_n))$ 对应到时间点 $t_n = t_0 + nT$，表示为 $(p_{n + 1}, q_{n + 1}) = \hat{T}(p_n, q_n)$，其中 $\hat{T}$ 是时间 $T$ 的移位算子。这种映射简化了原有的运动积分问题。

典型