1、离散与连续模型：混沌动力学的探索

离散与连续模型：混沌动力学的探索

1. 动力学秩序与混沌的共存

Hamiltonian 系统是混沌的载体。在最小限制条件下，任意动态 Hamiltonian 系统的相空间包含着运动轨迹在相空间中相互混合的区域。目前可用的分析和图形方法不足以捕捉可能是混沌或规则的动力学。对于自由度不超过两个的系统，存在或多或少成功的研究动力学的方法。

一个具有 $N$ 个自由度的系统由 $N$ 对广义坐标 $(q_1, \ldots, q_N)$ 和动量 $(p_1, \ldots, p_N)$ 表征，它们满足 Hamilton 运动方程：
$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$，$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$，$(i = 1, \ldots, N)$
其中 $H(p, q) \equiv H(p_1, q_1, \ldots, p_N, q_N)$ 是系统的 Hamiltonian。Hamiltonian 依赖于时间，这里只考虑其时间周期为 $T = 2\pi / \nu$ 的情况，即 $H(p, q; t + T) = H(p, q, t)$。由于时间变量是一个额外的正则变量，该系统被定义为具有 $N + 1/2$ 个自由度。

对于 $N = 1\frac{1}{2}$ 自由度的系统，会出现混沌轨迹。可以通过 Poincaré 映射将系统轨迹显示在二维相平面上，即点集 $(p(t_n), q(t_n))$ 对应于时间瞬间 $t_n = t_0 + nT$。有时有 $(p_{n + 1}, q_{n + 1}) = \hat{T}(p_n, q_n)$，其中 $p