41、金融市场中的股票网络与加权网络分析

金融市场中的股票网络与加权网络分析

1. KOSKK模型中的网络特性

在网络研究中，KOSKK模型有着独特的表现。我们可以自然地将权重较小的链接定义为弱连接。当社区之间的链接为弱连接，而社区内部的链接为强连接时，按权重递增顺序移除链接会使网络比按递减顺序移除时更快地碎片化。

为了验证这一点，我们采用相同的输入参数 ( w_0 )、( p_r )、( p_d )、( p ) 以及 ( \delta = 1 ) 的情况，分别按两种顺序移除链接。通过观察最大连通分量的相对大小 ( S = s_1/N ) 随移除链接比例 ( f = K_{del}/K )（( K_{del} ) 为移除链接的数量）的变化，我们发现：
- 按权重递减顺序移除链接（灰色方块）时，即使移除了多达50%的链接，网络最大连通分量的大小几乎不变（( S \approx 1 )）；当移除超过85%的链接时，( S \approx 0.5 )。
- 按权重递增顺序移除链接（黑色圆圈）时，网络碎片化程度更高，( S ) 下降更快。移除略超过50%权重最小的链接就足以使系统完全碎片化（( S \sim 0 )）。

这表明在KOSKK模型中，弱连接在维持整个系统的连通性方面起着重要作用。此外，KOSKK模型不仅能促使社区的出现，还能再现现实世界网络的其他重要特征，例如构建具有高聚类系数和小特征路径长度的 assortative 图。

2. 从时间序列构建金融市场股票网络

我们可以从时间序列中构建网络，下面以金融市场中股票交易的时间序列为例进行说明。

2.1 数据选取与处理

以Giovanni Bonanno、Fabrizio Lillo和Rosario Mantegna的研究为参考，我们选取2012年1月至2014年12月期间在纽约证券交易所交易的62只高市值股票进行分析。我们从股票价格的时间序列开始，由于高频数据可实现秒级的价格变化研究，但这里我们关注的是一天时间尺度上的价格变化。

设 ( S_i(t) ) 为第 ( i ) 只股票在时间 ( t )（即每个交易日结束时）的价格。在处理金融数据时，通常考虑股票价值的对数 ( \ln S_i(t) )，以应对价格的多样性。为了捕捉股票价格变化的相关性，我们定义对数价格差：
( Y_i(t, \Delta t) = \ln S_i(t) - \ln S_i(t - \Delta t) )，( i = 1, \cdots, N )

在一阶近似下，( Y_i(t, \Delta t) ) 近似等于股票收益率 ( R_i(t, \Delta t) = \frac{S_i(t) - S_i(t - \Delta t)}{S_i(t - \Delta t)} )，因为 ( Y_i(t, \Delta t) = \ln \frac{S_i(t)}{S_i(t - \Delta t)} = \ln [1 + R_i(t, \Delta t)] \approx R_i(t, \Delta t) )（利用 ( \ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + O(x^3) ) 并忽略高阶项，通常 ( R_i(t, \Delta t) \ll 1 )）。股票收益率具有实际意义，它直接代表了投资的资本收益，这也支持了我们使用对数价格差作为关注变量。

为了简化，我们固定 ( \Delta t = 1 ) 个交易日，此时 ( Y_i(t, 1) ) 对应股票 ( i ) 对数价格的每日变化 ( \ln S_i(t) - \ln S_i(t - 1) )。

2.2 相关系数与网络构建

基于时间序列 ( Y_i(t, 1) )，我们可以定义在 ( \Delta t = 1 ) 个交易日时间尺度上不同股票之间的相关系数：
( \rho_{ij} = \frac{\langle Y_iY_j \rangle - \langle Y_i \rangle \langle Y_j \rangle}{\sqrt{(\langle Y_i^2 \rangle - \langle Y_i \rangle^2)(\langle Y_j^2 \rangle - \langle Y_j \rangle^2)}} )

其中 ( \langle \cdot \rangle ) 表示在研究时间段（这里是三年）内的时间平均。相关系数 ( \rho_{ij} ) 的取值范围从 -1（完全负相关）到1（完全正相关），当 ( \rho_{ij} = 0 ) 时，两只股票 ( i ) 和 ( j ) 不相关。

根据相关系数，我们可以构建网络。一种方法是为每对股票 ( i ) 和 ( j ) 定义距离 ( \ell_{ij} = \sqrt{2(1 - \rho_{ij})} )，该距离范围在 ( [0, 2] ) 内，且满足度量的三个公理：
- ( \ell_{ij} = 0 ) 当且仅当 ( i = j )；
- ( \ell_{ij} = \ell_{ji} )；
- ( \ell_{ij} \leq \ell_{ik} + \ell_{kj} )。

由于任意节点对之间都定义了距离，我们可以构建一个包含 ( N ) 个节点的完全加权图，链接 ( (i, j) )（( i \neq j )）的权重定义为距离的倒数 ( w_{ij} = \frac{1}{\ell_{ij}} )。

在我们构建的网络中，最小距离 ( \ell = 0.656 ) 对应最高相关系数 ( \rho = 0.785 )，这是美国合众银行（USB）和富国银行（WFC）这对股票；图10.10中美国银行（BAC）和摩根大通（JPM）的相关系数 ( \rho = 0.712 )，对应距离 ( \ell = 0.758 )。该网络包含 ( N(N - 1)/2 = 1891 ) 条边，且边的权重各不相同。

为了减少边的数量，我们可以选择保留权重 ( w_{ij} ) 大于给定阈值 ( w_{thresh} )（即距离 ( \ell_{ij} ) 小于 ( \ell_{thresh} )）的链接，这样得到的图将依赖于所采用的阈值。更好的方法是将边的数量减少到最小，同时保持网络的连通性，即构建连接62只股票的最小生成树。

3. 最小生成树及其构建

3.1 最小生成树的定义

给定一个连通的无向加权图，其生成树是一个子图，它是一棵树且连接所有节点。最小（距离）生成树（MST）是指其边长度之和小于或等于任何其他生成树的边长度之和的生成树。

3.2 生成树数量的计算

计算生成树的数量可以使用Matrix - Tree定理的特征值版本，对于一个具有 ( N ) 个节点的加权连通图，其不同生成树的总数 ( t(G) = \frac{1}{N} \prod_{i = 2}^{N} \lambda_i )，其中 ( \lambda_2, \lambda_3, \cdots, \lambda_N ) 是基础无向图（所有边权重为1）的拉普拉斯矩阵 ( L ) 的 ( N - 1 ) 个非零特征值。

例如，一个具有 ( N = 6 ) 个节点和 ( K = 10 ) 条边的加权图，其基础无向图的拉普拉斯矩阵有五个非零特征值，计算得到不同生成树的数量 ( t(G) = 99 )。随着网络节点数和边数的增加，生成树的数量增长迅速，如6个节点的完全图有 ( t(G) = 1296 ) 个生成树，62只股票的完全图约有 ( 3.5 \times 10^{107} ) 个不同生成树，美国航空运输网络（( N = 500 )，( K = 2980 )）约有 ( 5.6 \times 10^{318} ) 个生成树。因此，通过穷举所有生成树来找到最小生成树超出了我们的计算能力。

3.3 构建最小生成树的算法

我们使用Joseph Kruskal在1956年提出的算法来构建62只股票的最小生成树。得到的最小生成树中，每只股票属于12个不同的经济部门，包括技术、金融、能源、非周期性消费、周期性消费、医疗保健、基础材料、服务、公用事业、企业集团、资本货物和运输。

从最小生成树中，我们可以清晰地看到不同经济部门股票的分组和它们之间的关系。例如，金融股票、非周期性消费股票、能源股票、企业集团股票和医疗保健股票等形成了明确的组；不同的技术股票通过企业集团（如霍尼韦尔（HON）和3M（MMM））相连，运输股票也有类似情况；而基础材料和服务股票在树中更为分散。

我们还可以关注节点的一些局部属性，如节点的度。最小生成树中有大量只有一条链接的股票，也有一些有多个链接的股票。一些高度节点主要与同一部门的其他股票相连，成为该部门股票的局部中心，如高露洁 - 棕榄（CL）、强生（JNJ）、摩根大通（JPM）和南方公司（SO）分别对应消费、医疗保健、金融和公用事业部门；另一些高度节点则连接不同部门的股票，最显著的是霍尼韦尔（HON），它与属于六个不同经济部门的17只股票相关。

为了明确Kruskal算法中不同部分合并的距离，我们绘制了关联的树状图。树状图中，每条垂直线对应一只股票，每条水平线代表不同聚类之间的连接，其高度等于股票连接的距离。通过树状图，我们可以更清晰地看到多个明显的组，这些组对应着不同的经济部门。

通过构建股票的相关网络及其最小生成树，我们可以从股票价格的时间序列中提取金融市场的重要信息，尽管这是对相关矩阵完整信息的一种极端过滤，但它能帮助我们刻画不同经济部门股票的聚类情况，并研究它们之间的关系。

下面是构建股票网络及最小生成树的流程：

graph TD;
    A[选取股票数据] --> B[计算对数价格差];
    B --> C[计算相关系数];
    C --> D[构建完全加权图];
    D --> E[选择保留边的方式];
    E --> F{是否构建最小生成树};
    F -- 是 --> G[使用Kruskal算法构建MST];
    F -- 否 --> H[按阈值保留边];
    G --> I[分析MST特征];
    H --> J[分析简化图特征];

总之，通过上述方法，我们能够从金融市场的股票数据中挖掘出有价值的信息，为金融分析和决策提供有力支持。

金融市场中的股票网络与加权网络分析

4. 加权网络研究的拓展与应用

加权网络的研究在近年来取得了显著进展，大量的加权网络数据库涌现，同时也出现了许多新的方法来刻画其性质和进行建模。虽然我们主要研究了美国航空运输系统的加权网络和金融股票网络，但这只是加权网络研究领域的冰山一角。

在加权网络的应用方面，不同领域的研究人员进行了广泛的探索：
- 市场投资 ：Diego Garlaschelli 等人将加权网络应用于市场投资研究，通过分析网络结构来理解市场中的投资关系和风险传播。
- 世界贸易网络 ：Giorgio Fagiolo 等人研究了世界贸易网络，揭示了国家之间贸易关系的复杂结构和动态变化。
- 地震网络 ：Marco Baiesi 和 Maya Paczuski 构建了地震网络，用于研究地震活动之间的关联性和传播机制。
- 人类免疫细胞网络 ：Paolo Tieri 等人研究了人类免疫细胞网络，有助于深入了解免疫系统的工作原理和疾病的发生机制。

在网络模型方面，也有许多有趣的变化和推广。这些新的模型可以更好地模拟现实世界中复杂网络的行为和特性。

此外，我们还将富俱乐部的概念扩展到了加权网络。Athen Ma 和 Rául Mondragón 提出了一种定义网络富核并提取其中节点的方法，该算法适用于无权和加权网络。

5. 从时间序列构建网络的其他方法与拓展

从时间序列构建网络是一个具有广泛应用前景的研究方向。除了我们采用的从金融市场股票时间序列构建网络的方法外，还有其他多种方式可以实现这一目标。

5.1 其他生成相关生成树的方法

我们主要研究了最小生成树，但还有其他方式可以生成相关的生成树。例如，Salvatore Scellato、Alessio Cardillo、Vito Latora 和 Sergio Porta 提出了构建最大中心性生成树的方法。这种生成树可以突出网络中具有重要中心性的节点和连接，为网络分析提供了不同的视角。

5.2 链接过滤的其他策略

除了构建最小生成树这种极端的链接过滤方式外，还有多种方法可以调整链接过滤策略，保留多于 ( N - 1 ) 条链接。例如，一种方法可以根据链接的重要性或相关性进行排序，然后选择保留一定比例的重要链接。

下面是不同链接过滤策略的对比表格：
| 过滤策略 | 保留链接数量 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| 最小生成树 | ( N - 1 ) | 保留最少链接，突出主要连接关系，能清晰展示网络的基本结构 |
| 最大中心性生成树 | ( N - 1 ) | 强调具有重要中心性的节点和连接，有助于发现网络中的关键节点 |
| 按重要性比例保留 | 可自定义 | 可以根据具体需求灵活调整保留的链接数量，更全面地反映网络信息 |

6. 总结与展望

通过对金融市场股票网络的研究，我们展示了如何从股票价格的时间序列构建网络，并通过构建最小生成树等方法提取重要信息。这种方法不仅可以帮助我们刻画不同经济部门股票的聚类情况，还能研究它们之间的关系，为金融市场的分析和决策提供了有力的工具。

然而，加权网络的研究仍然存在许多挑战和机遇。在未来的研究中，我们可以进一步探索以下方向：
- 更复杂的网络模型 ：开发更符合现实世界复杂网络特性的模型，以更准确地模拟和预测网络的行为。
- 多源数据融合 ：结合不同来源的数据，如社交媒体数据、宏观经济数据等，构建更全面的网络，深入挖掘金融市场与其他领域的相互关系。
- 实时网络分析 ：实现对金融市场网络的实时监测和分析，及时发现市场中的异常变化和潜在风险。

总之，加权网络的研究为我们理解复杂系统提供了新的视角和方法，随着技术的不断发展和研究的深入，相信加权网络在金融市场及其他领域将发挥更加重要的作用。

下面是加权网络研究未来方向的思维导图：

graph LR;
    A[加权网络研究未来方向] --> B[更复杂的网络模型];
    A --> C[多源数据融合];
    A --> D[实时网络分析];
    B --> B1[模拟复杂网络特性];
    B --> B2[准确预测网络行为];
    C --> C1[结合社交媒体数据];
    C --> C2[结合宏观经济数据];
    C --> C3[挖掘跨领域关系];
    D --> D1[实时监测金融市场];
    D --> D2[及时发现异常风险];

希望通过本文的介绍，能激发更多研究者对加权网络研究的兴趣，共同推动这一领域的发展。