20、配置模型：随机图网络的深入剖析

配置模型：随机图网络的深入剖析

1. 最大度与网络阶数的关系

在研究网络时，我们可以通过以下条件来估计最大度 (k_{max}) 与网络阶数的关系：
[N\int_{k_{max}}^{\infty} p(k)dk \approx 1]
这个关系表明，度大于 (k_{max}) 的顶点数量约为 1。假设对于 (k > k_{min})，度分布遵循幂律形式 (p(k) \sim k^{-\gamma})（其中 (\gamma > 2)），可以证明上述条件给出：
[k_{max} \approx k_{min}N^{1/(\gamma - 1)}]
这里 (k_{min}) 是度分布幂律区域的下限。这个表达式被称为网络的自然截断。

例如，对于万维网（WWW），最大观测度 (k_{max} = 3444)。当 (k_{min} = 1)，(N = N_{\geq1} = 136,934)（度大于等于 1 的节点数量）时，可计算出 (\gamma \approx 2.5)；若仅考虑分布的尾部，取 (k_{min} = 8)，(N = N_{\geq8} = 37,538)，则 (\gamma \approx 2.7)。

2. ER 随机图模型的局限性与扩展

之前介绍的 ER 随机图模型产生的是泊松度分布，无法重现许多真实网络中观察到的肥尾现象。不过，这并非真正的问题，因为 ER 模型可以很容易地扩展。扩展后的模型有两种：一种是可以任意指定每个节点的度，另一种是可以任意指定每对节点之间的连接概率。这两种模型分别是 ER 模型 A 和 B 的推广，能让我们生成具有给定任意度分布 (p_k) 的图。