4、矩阵代数、坐标变换与动画模拟的综合应用

矩阵代数、坐标变换与动画模拟的综合应用

1. 矩阵求逆

在矩阵运算中，求矩阵的逆是一项重要操作。设矩阵 $[C]$ 和 $[C]^{-1}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素分别为 $c_{ij}$ 和 $d_{ij}$，其中 $i$ 和 $j$ 的取值范围均为从 $1$ 到 $N$。同时，设 ${D_j}$ 和 ${I_j}$ 分别为矩阵 $[C]^{-1}$ 和 $[I]$ 的第 $j$ 列。可以发现，${I_j}$ 中除第 $j$ 行元素为 $1$ 外，其余元素均为 $0$。

根据矩阵乘法规则，$[C]{D_1} = {I_1}, [C]{D_2} = {I_2}, \cdots, [C]{D_N} = {I_N}$。这意味着可以通过程序 Gauss 依次使用相同的系数矩阵 $[C]$ 和向量 ${I_i}$ 来求解向量 ${D_i}$，其中 $i = 1,2,\cdots,N$。基于此思想，对程序 Gauss 进行修改得到了程序 MatxInvD 。

以下是相关的代码示例（虽然未给出完整代码，但体现了核心思路）：

D
d d
d
j
lj
j
Nj
T
{ } =
…
[
]
2
C
D D
DN
T
[ ]
=
…
[
]
−1
1
2

2. 不同软件的矩阵操作应用

2.1 MATLAB 应用

MATLAB 提供了非常简便的矩阵操作功能。例如，矩阵求逆可以通过以下方式实现：