13、随机图与小世界网络：探索网络连接的奥秘

随机图与小世界网络：探索网络连接的奥秘

随机图理论基础

随机图理论在理解大型图的性质方面发挥了重要作用。这些图的链接在所有可能的节点对之间以均匀概率随机分布。20世纪50年代末，Erdős和Rényi提出了两个随机图模型，为该领域奠定了基础。

第一个是均匀随机图模型，它考虑了所有具有N个节点和K条链接的可能图的集合。第二个是二项随机图模型，由通过以概率p连接每对节点而得到的所有具有N个节点的图组成。处理图的集合使我们能够轻松地推导出集合上平均量的分析结果，并研究当我们分别调整K或p的值时，图的平均性质如何变化。而且，在N很大的极限情况下，这两个集合给出相同的结果。

随机图的度分布是二项分布。我们还研究了随机图中出现诸如树、循环和不同阶的完全图等子图的条件，以及巨型组件的形成条件。随机图是对现实世界网络进行建模的最基本方式，因此它们被用作零模型，用于揭示现实世界网络的意外特性。

例如，在科学论文合著网络中，我们计算了组件的阶数，并将结果与具有相同节点数和链接数的随机图进行了比较。

特征路径长度

特征路径长度L定义为图中节点之间的平均距离。在随机图中，L与节点数的对数成正比，即L ∼ ln N。这意味着随机图中两个节点之间的典型距离很小，这一特性在现实系统中也很常见。

对于线性图，我们可以通过以下公式计算其特征路径长度。首先，有公式：
[D_{n}^{N + 1}=\sum_{d = 1}^{n}d+\sum_{d = 2}^{N - n + 1}d]
经过推导，最终得到：
[D_{n}^{N + 1}=n^{2}-(N + 1)n+\frac{N^{2}+3N}{2}]