15、探索瓦茨 - 斯托加茨（WS）模型：小世界网络的奥秘

探索瓦茨 - 斯托加茨（WS）模型：小世界网络的奥秘

1. 规则格点图的局限

在研究网络的特性时，规则格点图在再现真实系统的属性方面存在问题，它无法展现小世界行为。以循环图为例，其特征路径长度 (L_{circle}) 与节点数 (N) 呈线性增长关系，即 (L_{circle} \sim \frac{N}{4m})，这与 ER 随机图中特征路径长度随 (N) 呈对数增长不同。

为了计算循环图的特征路径长度，我们假设 (N) 为奇数，由于所有节点是等价的，我们可以通过考虑一个节点到其他所有节点的距离来计算 (L)。将节点分组，每组节点到参考节点的距离相同。定义 (N_g = \frac{N - 1}{2m})，若 (N_g) 为整数，从节点 (i) 到其他 (\frac{N - 1}{2}) 个节点的距离之和为 (m\sum_{g = 1}^{N_g} g = \frac{mN_g(N_g + 1)}{2} = \frac{N - 1}{8m}(N - 1 + 2m))，将此和除以 (\frac{N - 1}{2}) 可得特征路径长度 (L_{circle} = \frac{N + 2m - 1}{4m})。若 (N_g) 不是整数，则需考虑不在分组内的节点，精确表达式为 (L_{circle} = \left(1 - \frac{m}{N - 1}\lfloor N_g \rfloor\right)(\lfloor N_g \rfloor + 1))。对于大 (N) 且 (1 \ll m \ll N)，这两个表达式都可简化为 (L_{circle} \sim \frac{N}{4m})。

2. 瓦茨 - 斯托加茨（WS）模型的提出

ER 随机图模型具有小