16、特征值与特征向量问题的数值求解方法

特征值与特征向量问题的数值求解方法

在科学与工程领域，许多物理问题会归结为含未知参数的常微分方程。本文将深入探讨两类典型问题：细长杆的屈曲问题和三个质量块通过弹簧连接的振动问题，并介绍相关的数值求解方法和程序应用。

1. 问题引入

在一些物理问题中，会出现含未知参数的常微分方程。例如，细长杆在轴向载荷 $P$ 作用下的屈曲问题，其挠曲形状 $y(x)$ 满足方程：
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{M}{EI} = -\frac{Py}{EI}$
其中，$EI$ 是杆的刚度，$M$ 是杆在截面 $x$ 处的内弯矩（此处 $M = -Py$）。当杆两端支撑时，边界条件为 $y(0) = 0$ 和 $y(L) = 0$。未知参数 $P$ 是导致杆屈曲的轴向载荷，问题是要找到 $P$ 以及相应的屈曲形状 $y(x)$。若 $EI$ 为常数，该问题可解析求解，屈曲载荷为 $P = \frac{\pi^2EI}{L^2}$；对于 $EI$ 是 $x$ 的函数的一般情况，则需采用数值方法获得近似解。

另一个例子是三个质量块通过弹簧连接的振动问题。当其中一个质量块受到扰动时，整个系统会振动。设质量块的位移为 $x_i(t)$（$i = 1, 2, 3$），弹簧的弹性常数为 $k_i$（$i = 1, 2, 3$），根据牛顿运动定律，位移的控制微分方程为：
$m_1\frac{d^2x_1}{dt^2} + (k_1 + k_2)x_1 - k_2x_2 = 0$
$m_2\frac{d^2x_2}{dt^2} - k_2x_1 + (k_2 + k_3)x_2 - k_3x_3 = 0$
$m_3\frac{d^2x_3}{