36、数值计算方法在热传导与波问题中的应用

数值计算方法在热传导与波问题中的应用

1. Relaxatn程序介绍及应用

Relaxatn程序是根据上述松弛方法开发的，有FORTRAN和QuickBASIC两个版本，可用于交互式指定容差来解决相关问题。

1.1 FORTRAN版本示例结果

• 当交互式输入容差等于100时，仅需进行一次松弛。第一次扫描的温度分布实际上是初始假设分布，无法评估其准确性。
• 当容差指定为1时，结果显示需要136次松弛步骤。为了更深入了解松弛过程，还给出了第10、30、50、100和137次扫描的结果，这清楚地表明容差为100是远远不够的。

1.2 不规则边界处理

在实际的热传导问题中，存在几何形状非常不规则的边界情况。对于这种情况，基于松弛方法推导的方程（方程3）需要修改。该方程原本表明，如果一个点与其四个相邻点距离相等，那么该点的温度是其四个相邻点温度的平均值。

以图4中的点G（温度为$T_G$）为例，在水平（y方向）上，点G的温度受点C（温度为$T_C$）的影响比受点I（温度为$T_I$）的影响更大，因为点C更靠近点G。基于温度的线性变化，可得到方程（15）：
[T_G = \frac{\Delta y + \beta’ \Delta y}{\Delta y + \beta’ \Delta y + \Delta y} T_C + \frac{\Delta y}{\Delta y + \beta’ \Delta y + \Delta y} T_I = \frac{1 + \beta’}{1 + \beta’ + 1} T_C + \frac{1}{1 + \beta’ +