5、矩阵变换：从基础到应用

矩阵变换：从基础到应用

1. 线性代数实现与初步探索

在完成一系列测试且所有测试都通过后，这是一个值得庆祝的时刻，你成功实现了线性代数的一个重要支柱，并且还带有测试。现在你拥有了支持乘法、转置和求逆运算的 4x4 矩阵。虽然目前这些操作与光线追踪的直接关联还不多，但在后续会有更多应用。在继续前进之前，不妨花几分钟进行一些探索：
- 对单位矩阵求逆会发生什么？
- 矩阵与其逆矩阵相乘会得到什么？
- 矩阵转置的逆和逆的转置之间有区别吗？
- 我们知道单位矩阵与元组相乘，元组保持不变。那么，将单位矩阵的任意一个元素改为不同的数字，再与元组相乘，元组会发生什么变化？

2. 矩阵变换的引入

矩阵变换是光线追踪中用于移动和变形物体的实用工具。以一个包含几个彩色球体和一些棋盘格平面的场景为例，如果没有变换，需要明确描述每个球体的半径和位置，这不仅繁琐，还会增加光线追踪器的复杂度。而使用变换，我们可以先将小球体添加到原点位置，然后应用一系列变换，如缩放、平移和旋转，避免了复杂的数学计算。

3. 平移变换

平移变换通过对坐标进行加减操作来移动点。例如，若一个点的 x 坐标为 3，将其在 x 方向移动 4 个单位，那么新的 x 坐标将变为 7。虽然可以使用向量来平移点，但向量只能实现平移，无法实现旋转、缩放或剪切等其他变换。而矩阵乘法可以作为一个单一操作，实现任意变换并按任意顺序连接它们。

我们可以使用 translation(x,y,z) 函数来创建一个 4x4 平移矩阵。以下是相关测试示例：