20、CT图像重建与设备评估技术解析

CT图像重建与设备评估技术解析

优化问题求解

在优化问题中，定义优化准则的函数是凸函数，这意味着我们可以使用多种方法来找到最优解，并且能够保证达到全局最小值。选择合适的优化方法时，主要应考虑计算效率。

以优化准则的第一个分量近似为二次函数的情况为例，我们可以使用牛顿迭代算法。为了说明该算法寻找二次函数最小值的能力，我们使用一个简单的示例函数：$fun(x) = x^2$。在算法的第$t$次迭代步骤中，我们用$x(t)$表示变量$x$的值。如果我们将$fun(x)$在$x(t)$处展开为泰勒级数，那么寻找$fun(x)$的极值可以表示为：
$fun_{min}(x) = \min_{x} Fun^{(t)}(x)$
$= \min_{x} [fun(x^{(t)}) + (x - x^{(t)}) fun’(x^{(t)}) + \frac{1}{2} (x - x^{(t)})^2 fun’‘(x^{(t)})]$

函数在$x$处存在极值的必要条件是该点的导数等于0，即：
$\frac{dFun^{(t)}(x)}{dx} = 0$
由此可得：
$x^{(t)} - \frac{fun’(x^{(t)})}{fun’‘(x^{(t)})} = x^{(t)} - \frac{2x^{(t)}}{2} = 0$

这样，我们可以在一步内使优化算法收敛到解。如果$fun(x)$近似为二次函数，如式8.65中的优化准则，收敛速度仍然相对较快。在这种情况下，函数$Fun^{(t)}(x)$取最小值时的$x^{(t)} {min}$只是$fun(x)$实际最小值的近似值。假设在后续的迭代步骤中，我们选择$x^{(t)} {min}$作为初始条件$x^{(t + 1)}$来展开$fun(x)$，我们可以得到：
$\frac{dFun^{(t)}(x)}{dx}\big| {x = x^{(t + 1)}} = fun’(x^{(t)}) + (x - x^{(t)}) fun’‘(x^{(t)})\big| {x = x^{(t + 1)}} = 0$

通过求解上述方程的根，我们可以得到$fun(x)$最小值的逐次近似值$x^{(t)}$，$t = 1, 2, …$。

我们使用的寻找最优解的关系为：
$\hat{l}^{(t + 1)} m = \arg\min {l > 0} \left[ \sum_{k = 1}^{L \times W} \frac{d_k}{2} \left[ 2v_{km} (\hat{p} k - v {k} l^{(t)}) (l_m - l^{(t)} m) + v {km}^2 (l_m - l^{(t)} m)^2 \right] + \frac{1}{fun(r)} \sum {m, \tilde{m} \in C} V_r (\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}) \right]$

在这个过程中，我们不考虑式8.70中二次项的泰勒级数展开中的海森矩阵。这意味着在这种方法中，当一个图像像素通过连续的优化步骤得到改善时，其余像素保持固定，从而显著加快了重建过程。为了减少这种简化带来的不利影响，我们随机确定选择像素进行修改的顺序。在多维空间中寻找最优解的算法改进被称为牛顿 - 拉夫逊方法。

为了改变单个图像点，我们需要确定式8.70中括号内函数的最小值。为此，我们计算该函数关于$l_m^*$的导数的零点，得到：
$\sum_{k = 1}^{K \times H \times H} d_k v_{km} (\hat{p} k - v {k} l^{(t)}) + \sum_{k = 1}^{K \times H \times H} d_k v_{km}^2 (l_m - l^{(t)} m) + \frac{1}{fun(r)} \sum {m, \tilde{m} \in C} Q_r (\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}) = 0$

其中，$Q_r(\cdot)$是势函数$V_r(\cdot)$的一阶导数，称为影响函数。对于式8.63中的$q(\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}})$函数，影响函数的形式为：
$Q_r (\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}) = w_{m\tilde{m}} \left[ \frac{|\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}|^a}{1 + (\frac{|\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}|}{d})^a} \right]^{a - b} \left[ a - \frac{(a - b)}{d^{a - b}} \frac{|\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}|^a}{1 + (\frac{|\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}|}{d})^a} \right] \text{sign}(\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}})$

为了满足式8.70的假设，我们将$\hat{l}_m = \hat{l}^{(t + 1)}_m$代入式8.71，并继续进行下一次迭代，令$\hat{l}^{(t)}_m = \hat{l}^{(t + 1)}_m$。

迭代坐标下降算法的实际应用

上述讨论为使用螺旋投影系统（扫描仪）和锥形辐射束进行测量的重建算法的制定提供了基础。

在实际重建之前，我们需要根据投影参数预先计算矩阵系数$v$的元素$v_{km}$的值，其中$k = 1, 2, …, K \times H \times H$（$K$是行数，$H$是屏幕上每行的探测器数量（通道数），$H$是检查期间进行的总投影数）；$m = 1, …, I; I + 1, …, I \times J; I \times J + 1, …; I \times J \times N$（$I$和$J$是$x - y$平面上的像素数，$N$是沿$z$轴的空间图像切片数）。从扫描仪的测量中，我们可以得到各个投影值$\hat{p}_k$，$k = 1, …, K \times H \times H$。

重建算法的步骤如下：
1. 步骤I ：由于优化问题中的目标函数是凸函数，为了加快算法收敛到解的速度，我们使用标准算法（如Feldkamp方法）来确定$t = 0$时的初始条件$l^{(t)}$。
2. 步骤II ：随机选择要调整的重建图像元素$l^{(t)} m$。
3. 步骤III ：通过例如半区间搜索等方法确定以下方程的根：
$\sum {k = 1}^{K \times H \times H} d_k v_{km} (\hat{p} k - v {k} l^{(t)}) + \sum_{k = 1}^{K \times H \times H} d_k v_{km}^2 (l_m - l^{(t)} m) + \frac{1}{fun(r)} \sum {m, \tilde{m} \in C} Q_r (\hat{l} m - \hat{l} {\tilde{m}}) = 0$
该方程的根被视为重建像素的下一个值，即$l^{(t + 1)}_m$。
4. 步骤IV ：检查所有的$m$ - 体素是否都得到了改善。如果没有，返回步骤II。
5. 步骤V ：重复步骤II到步骤IV，直到对于所有的$m$，有$|\hat{l}^{(t + 1)}_m - \hat{l}^{(t)}_m| < \epsilon$，其中在返回步骤II时，我们令$t = t + 1$。

下面是该迭代坐标下降（ICD）算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[使用Feldkamp方法确定初始条件l(0)];
    B --> C[随机选择要调整的元素l(t)m];
    C --> D[确定方程根得到l(t + 1)m];
    D --> E[检查所有m - 体素是否改善];
    E -- 否 --> C;
    E -- 是 --> F{是否满足|l(t + 1)m - l(t)m| < ε};
    F -- 否 --> C;
    F -- 是 --> G[结束];

CT设备的技术参数

CT扫描仪的图像生产可以看作是将患者体内的X射线衰减系数分布转换为重建图像的过程。最终图像是一系列过程的结果，受到多种因素的影响，包括扫描仪的技术参数、投影系统的类型以及应用的重建算法类型。通过建立标准化、定量、可比的标准，可以对CT扫描仪的物理和技术能力进行评估。

CT扫描仪的评估参数包括：
|参数|描述|
| ---- | ---- |
|循环时间|扫描和重建图像的总时间。循环时间越短，越有可能避免因患者运动（包括生理运动，如心跳或呼吸时的胸部运动）引起的伪影。|
|空间分辨率|图像中能够检测到变化的最小区域。该参数通常使用扫描仪的传递函数$G(f_x, f_y)$（通常称为MTF，调制传递函数）来定义。空间分辨率通常根据一维传递函数的截止频率来定义，即函数$MTF(f)$下降到50%、10%或2%水平时的值。该参数的值仅取决于扫描仪中使用的探测器和X射线源的特性、采样方法和重建方法（使用的插值方法和核滤波器）。|
|低对比度分辨率|检测组织中衰减系数微小差异的能力。它定义为在特定辐射剂量下，最小可检测的衰减系数差异（在Hounsfield尺度上）与给定大小物体内的平均值之比。当前扫描仪的分辨率在0.3%到0.4%之间，可以通过增加辐射剂量或延长扫描时间来提高。|
|均匀性|图像均匀性（或非均匀性）的度量。可以通过在均匀标准水模体的选定区域测量平均衰减系数，并使用公式$heterogeneity = \frac{\mu_{max}(x, y) - \mu_{min}(x, y)}{\mu_{max}(x, y) + \mu_{min}(x, y)}$计算，其中$\mu_{max}(x, y)$是模体所有选定区域中的最高平均衰减系数，$\mu_{min}(x, y)$是最小平均衰减系数。|
|线性度|定义了扫描仪平均能量下测量的衰减系数与所有类型组织在Hounsfield尺度上分配的值之间的关系，使用公式$linearity = \sqrt{\frac{1}{I} \sum_{i = 1}^{I} (\mu_i - \mu_{i}^{av})^2}$计算，其中$\mu_i$是在Hounsfield尺度上分配给给定组织的衰减系数，$\mu_{i}^{av}$是扫描仪平均能量下测量的衰减系数，$I$是考虑的组织数量。|
|切片厚度|图像横截面的标称厚度。通常使用扫描仪的半高宽（FWHM）值来确定，该值基于扫描仪的灵敏度函数定义。切片厚度是灵敏度函数图上值等于最大值一半的两点之间的距离，典型值在0.4 - 10 mm范围内。|
|计算机断层扫描剂量指数（CTDI）|以毫戈瑞（mGy）为单位测量，定义了患者在使用特定CT设备扫描时吸收的剂量。计算公式为$CTDI = \frac{1}{|z_2 - z_1|} \int_{z_1}^{z_2} Dose(z) dz$，其中$Dose(z)$是测试期间模体吸收剂量沿$z$轴的分布，$z_1$，$z_2$是剂量计测量的$z$轴起点和终点。|
|螺距|仅适用于螺旋扫描系统，是患者所在桌子的位移与扫描仪旋转一圈扫描层厚度的比值，计算公式为$pitch = \frac{k}{SW}$，其中$k$是管围绕测试对象移动时螺旋的相对行程（mm/rad），$SW$是层的标称厚度（mm）。|

这些参数对于评估CT扫描仪的性能和选择合适的设备至关重要。在实际应用中，我们可以根据这些参数来综合考虑CT设备的成像质量、辐射剂量等因素，以满足不同的临床需求。

CT图像重建与设备评估技术解析（续）

用于CT设备参数验证的模体

为了控制或验证CT扫描仪的参数，人们使用了专门设计的结构，即模体。其中一些模体已经成为标准，而另一些则是由各个医疗设备制造商根据CT扫描仪广泛不同的功能要求进行设计的。以下为大家介绍一些常见的模体。

标准模体

标准模体具有通用性和规范性，被广泛应用于CT设备的参数验证。例如，在确定切片厚度时，会使用由倾斜金属条或金属丝组成的模体。通过测量沿患者主轴相对于固定点的X射线强度，并将结果相对于最大值进行归一化，从而得到扫描仪的灵敏度函数。切片厚度就是灵敏度函数图上值等于最大值一半的两点之间的距离。

制造商提供的模体

由于不同制造商生产的CT扫描仪在功能和设计上存在差异，他们会根据自身设备的特点提供特定的模体。这些模体能够更精准地验证其生产设备的各项参数，确保设备达到预期的性能标准。

模体在CT设备参数验证中的作用流程如下：

graph TD;
    A[选择合适模体] --> B[将模体置于CT扫描仪中进行扫描];
    B --> C[获取扫描数据];
    C --> D[根据数据计算各项参数];
    D --> E[与标准参数对比验证设备性能];

CT设备评估的综合考量

在评估CT设备时，不能仅仅关注某一个或几个参数，而需要综合考虑多个方面。以下为大家列举一些综合考量的要点。

参数之间的相互关系

CT设备的各个参数之间并不是孤立存在的，而是相互影响的。例如，增加辐射剂量可以提高低对比度分辨率，但同时会增加患者吸收的剂量，可能对患者健康造成潜在风险。因此，在追求高分辨率的同时，需要权衡辐射剂量的增加是否在可接受范围内。

临床应用需求

不同的临床应用场景对CT设备的参数要求也不同。对于需要检测微小病变的检查，如早期癌症筛查，可能更注重空间分辨率和低对比度分辨率；而对于一些需要快速成像的情况，如急诊检查，则更关注循环时间。因此，在选择CT设备时，需要根据实际的临床应用需求来确定各项参数的优先级。

设备的成本效益

除了设备的性能参数外，设备的成本也是一个重要的考虑因素。包括设备的购买成本、维护成本以及运行成本等。在满足临床需求的前提下，需要选择具有较高成本效益的设备，以实现资源的合理利用。

综合考量CT设备的各项因素的决策流程如下：
|步骤|内容|
| ---- | ---- |
|步骤1|明确临床应用需求，确定各项参数的优先级。|
|步骤2|收集市场上不同CT设备的参数信息和价格信息。|
|步骤3|分析参数之间的相互关系，评估不同设备在满足需求的同时可能带来的风险和收益。|
|步骤4|根据成本效益原则，选择最适合的CT设备。|

总结

CT图像重建与设备评估是一个复杂而重要的过程。在图像重建方面，通过牛顿迭代算法和牛顿 - 拉夫逊方法等优化算法，能够有效地解决优化问题，加快重建过程。迭代坐标下降算法为CT图像重建提供了一种可行的方法，通过一系列的步骤可以逐步得到高质量的重建图像。

在CT设备评估方面，我们需要关注设备的技术参数，如循环时间、空间分辨率、低对比度分辨率等，这些参数直接影响着图像的质量和诊断的准确性。同时，使用模体可以对设备的参数进行验证和控制，确保设备的性能符合标准。在选择CT设备时，需要综合考虑参数之间的相互关系、临床应用需求以及设备的成本效益等因素，以做出合理的决策。

随着医学技术的不断发展，CT设备也在不断更新和改进。未来，我们可以期待更加高效、准确、低剂量的CT设备的出现，为临床诊断和治疗提供更好的支持。