9、平行束投影图像重建方法解析

平行束投影图像重建方法解析

1. 离散平行束扫描器基础

在平行束系统中，角度为 $\alpha_p$ 时，屏幕上某点 $s_l$ 处确定的每个投影值可以用投影函数的离散形式表示：
$\hat{p}_p(l; \omega) = p_p(l - \Delta_p s; \omega - \Delta_p \alpha)$
其中，$\omega$ 是投影编号，$l$ 是矩阵中的探测器编号。

图像重建方法在离散实现时，存在一个显著问题，即采样过程后频谱段的重叠效应。根据采样理论，傅里叶变换的离散形式 $\hat{P} p(f; \alpha_p)$ 由以下关系定义：
$\hat{P}(f; \alpha_p) = \sum {i = -\infty}^{\infty} P(f + \frac{i}{\Delta_p s}; \alpha_p)$
也可写成：
$\hat{P}(f; \alpha_p) = \Delta_p s \sum_{i = -\infty}^{\infty} p_p(i\Delta_p s; \alpha_p) e^{-j2\pi i\Delta_p s}$
当索引 $i$ 的范围限于 $i = 0$ 时，$\hat{P}(f; \alpha_p) = P(f; \alpha_p)$。这意味着对于空间受限的投影函数 $p_p(s; \alpha_p)$（其频谱是无限的），当 $i \neq 0$ 时，频谱 $\hat{P}(f; \alpha_p)$ 中的分量频谱 $P(f; \alpha_p)$ 会重叠，这是重建图像失真的一个严重来源。

2. 投影图像重建问题的提出