11、扇形束投影图像重建方法解析

扇形束投影图像重建方法解析

1. 扇形束扫描的背景与优势

传统 CT 扫描仪使用平行辐射束的投影系统存在局限性，成为了计算机断层扫描技术发展的主要障碍。为克服这些技术难题，工程师们采用了单 X 射线管，将辐射准直成扇形窄束（扇形束）。这种方式具有显著优势：
- 提高扫描速度 ：消除了管 - 探测器系统不必要的横向移动，加快了每次投影的执行速度。
- 提升能源利用效率 ：相比以往设计，显著增大了辐射束角度，更有效地利用了管发射的功率。
- 减少患者辐射暴露与运动伪影 ：缩短了患者的辐射暴露时间，并最大程度减少了因患者运动导致的图像失真。

2. 扇形束扫描仪的几何结构

2.1 基本几何关系

扇形束扫描系统由 X 射线管和弧形屏幕组成，屏幕上放置着探测器矩阵。系统的旋转轴垂直于测试对象的横截面，其与横截面的交点标记为 0。X 射线管到旋转轴的距离为 $R_f$，测试对象的整个横截面必须位于 X 射线扇形范围内。

射线可以用参数对 $(b, \alpha_f)$ 来标识：
- $b$：射线与辐射束主轴的夹角。
- $\alpha_f$：扇形束系统的旋转角度。

投影在一次完整旋转中完成，$\alpha_f$ 的范围是 $[0, 2\pi)$，$b$ 的范围是 $[b_{min}, b_{max}]$，其中：
$b_{max} = -b_{min} = \arcsin(\frac{R}{R_f})$

若假设 $R_f = 2R$，则