二分图小结

二分图 ，是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可以分割为两个互不相交的子集(A,B)

通俗点说就是，把一个图能分成左边一个顶点集，右边一个顶点集合，并且集合内所有点之间无直接相连的边，所有的边都只存在集合外部连通两个集合；

大概是这个样子：

 

匹配：就是在集合U和V之间拉k条边，只要这k条边中任意两条的2个端点都不同 ，就是一个匹配

最大匹配：在所有的匹配中，边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了（ps:如果两个集合点数不同，那么较少点数的集合的点数显然就是最大匹配数啦  （最多只能在U和V之间拉那么多条边，再拉就违反“匹配”中，边的端点不能重合的概念） ）

顶点覆盖：在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖：在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。  这个最小顶点数=最大匹配数

（这两个概念好理解，而后面的公式可以这样推，假设集合U的点数较少，由上面知道，最大匹配数=较少点集合的点数，而显然这个集合U的点集覆盖了图中所有的边，所以他是一个最小顶点覆盖，同理集合V也是一个顶点覆盖，只不过是较大的顶点覆盖）

最大独立集：一个点集，内部的点都互不相连。显然，在集合U和V的独立集中，顶点数最多的那个集合

（而还是根据第一个推论，顶点数少的集合的点数为最大匹配数，所以最大独立集=顶点数较多的集合的点数=n-最大匹配数）

路径覆盖：在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，每个顶点都只与一条路径相关联（也即路径没有重叠）

（注意，这里的路径不是边，可以由0条或多条边组成）

 一个单独的顶点是一条路径；  

最小路径覆盖：在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了。

（这里有个说明，路径覆盖这个概念不仅用在二分图，但是如果要和二分图联系起来的话，必须是有向无环图，否则如果是无向图的话，显然最简单可以一笔把所有点连起来啦。。。。。。如果是可以重复经过一个点的路径覆盖，则需要闭包传递处理后即可用二分图下的最小路径覆盖了）

（有向无环的二分图的情况下，回到我们的概念图,Ps:只有一个图啦。。。 要覆盖整个图的话，显然只需要把 顶点数较多的集合U上每个点拉一条边出去即可，显然我们只能拉出【最大匹配数】条边，再拉的话，就会有路径重叠（集合V的点就那么多....边比点多必然有路径重合(边的端点重合) ），那么剩下的点，只能以一个单独的点作为一条路径了，因此，也就是最小路径覆盖=最大独立集=n-最大匹配数）

 

因此，这些与二分图有关的项，基本都能用最大匹配数联结起来，因此只要用一个匈牙利算法求得最大匹配数，其余都可以通过它推出来。