5、集合论：从基础构建到悖论挑战

集合论：从基础构建到悖论挑战

1. 集合视角下的数学运算与实数定义

在数学的世界里，集合论为众多概念的定义和运算提供了基础。首先，在运算方面，通过特定方程能唯一确定运算规则。例如，在加法的基础上，可以给出乘法的递归定义：
- (x · 0 = 0)
- (x · S(y) = x · y + x)
基于此，还能继续定义诸如 (x^y) 等其他函数。

而实数的构建是一个更具挑战性的问题。在18世纪，数学家们意识到微积分等理论需要连续性公理。例如，对于定义在闭区间 ([0, 1]) 上的连续函数 (f)，若 (f(0) < 0) 且 (f(1) > 0)，则存在实数 (a)（(0 < a < 1)）使得 (f(a) = 0)。为了发展相关理论，要么将此类原理作为公理，要么从集合的基本公理出发定义实数。以下是几种构建实数的方法：
- 柯西序列法 ：以有理数为起点，一个无穷的有理数序列 (r_0, r_1, r_2, …) 被称为柯西序列，当 (n) 增大时，序列元素之间的距离越来越近。具体来说，对于任意 (\varepsilon > 0)，存在 (n)，使得对于所有 (k, m > n)，不等式 (|r_k - r_m| < \varepsilon) 成立。若所有柯西序列都收敛，那么实数的所有性质都能推导出来。构建的关键在于定义两个柯西序列收敛到同一个实数的含义，且不提及该实数本身。可以用此条件在柯西序列上定义等价关系，然后将实数定义为等价类。这种构建方法的优势在于适用于所有度量空间，能证明每个度量空间都可扩展为完备度量空间。
- 戴德金分割法