30、集合论的替代基础：探索别样的数学世界

集合论的替代基础：探索别样的数学世界

1. 集合论基础的现状与挑战

集合论是数学的重要基础，其中Zermelo - Fraenkel集合论被广泛接受。然而，它并非完美无缺。和其他合理的公理系统一样，Zermelo - Fraenkel集合论是不完备的，对于一些独立语句，如连续统假设，数学家们并没有达成共识。虽然选择公理如今已被接受，但在研究实数子集时，仍存在更好的替代方案。只有大基数理论，到目前为止，没有引发此类困境。

这提醒我们，在选择Zermelo - Fraenkel集合论作为基础时，不应过于自信。研究替代方案可能会带来丰硕的成果，就像在Zermelo - Fraenkel集合论中，确定性公理（选择公理的替代方案）开创了描述集合论和大基数理论的新领域。

2. Quine的新基础

2.1 理论背景与目标

新基础是Willard Van Orman Quine在20世纪30年代构想的集合论公理系统。其目标是让类型论对数学家更具吸引力，同时保持其表面上的一致性，但这两个目标都未完全实现。

2.2 理论构建

Quine意识到悖论可能仅在应用概括公理时出现，因此他提议放弃类型，转而限制概括公理，使其仅允许使用类型论中能使用的公式形式。

形式上，该理论具有外延公理和限制于特定公式的概括公理模式。大致来说，如果能为公理中出现的所有变量分配类型，使其成为类型论中此类公理的实例，那么这个概括公理模式的实例就是可接受的。实际上，就是为公式的变量分配整数索引，使得当两个变量在公式中以关系∈出现时，右边的索引必须比左边大1；若它们以等式出现，则索引必须相同。这样的公式被称为分层公式。 <