20、数学逻辑与集合论基础：从连续性到类型理论

数学逻辑与集合论基础：从连续性到类型理论

1. 数学逻辑基础要点

数学语言朝着最小化和通用化的方向发展。逻辑语言的基本要素包括常量、变量、关系符号、连接词和量词，其语法遵循自然语言语法的原则。

要点	详情
句子真值定义	可以精确地定义一个句子在某个结构中的真值。
逻辑有效性	句子的逻辑有效性可通过其在所有结构中都为真来定义。
证明概念	通过设定每个证明都必须满足的语法规则，证明的概念可以变得非常精确。
逻辑演算完备性	逻辑演算是完备的，即每个在所有结构中都为真的句子都可以被证明。

存在一些精确的数学概念来定义可计算函数类，如图灵机。我们相信这个类包含了所有可计算函数（丘奇 - 图灵论题），但由于它不是一个数学陈述，所以无法证明。同时，存在具体的不可计算函数，这类函数的不可计算性并非因为计算设备效率低下或时间不足，而是原则上就无法计算。此外，存在通用图灵机可以模拟任何图灵机，计算机的构建也遵循了这种通用性。

下面是一个简单的逻辑关系图：

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