Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | …（篇 3）

原创已于 2025-11-23 19:22:10 修改 · 432 阅读

13 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#Dirac delta

于 2025-11-23 19:16:27 首次发布

mathematics 专栏收录该内容

185 篇文章

订阅专栏

注：本文为 “Dirac‘s Delta Function” 相关 csdn 文章重排。
如有内容异常，请看原文。

PDE——Delta 函数

itheta 原创于 2019-04-08 19:50:35 发布

Delta 函数的定义与性质

Delta 函数 $\delta(x)$ 并非传统意义上的函数，它不具有明确的自变量与函数值的对应关系。其“函数值”仅在积分运算中具有意义：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \, \mathrm{d}x = f(0)$

Delta 函数也可视为某些函数序列的极限。若函数序列 $\delta_l(x)$ 满足
$\lim_{l \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) \, \mathrm{d}x = f(0)$
则称 $\delta_l(x)$ 收敛于 $\delta(x)$ 。例如：
$\begin{aligned} \delta(x) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^2 x^2} \\ \delta(x) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1 + n^2 x^2} \\ \delta(x) &= \frac{\sin n x}{\pi x}\end{aligned}$
delta函数逼近序列举例

Delta 函数的基本运算规则

与常数的乘积
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \, \mathrm{d}x = c f(0)$
平移变换 $\to x - a$
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a) \, \mathrm{d}x = f(a)$
放大或缩小 $\to \alpha x$
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{|\alpha|} f(0)$
因此，
$\delta(\alpha x) = \frac{1}{|\alpha|} \delta(x)$
特别地，当 $\alpha = -1$ 时，
$\delta(-x) = \delta(x)$
Delta 函数的导数
对于在 $x = 0$ 点连续且具有连续导数的函数 $f (x)$ ，
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x) \, \mathrm{d}x = -f'(0)$
Delta 函数的高阶导数
对于在 $x = 0$ 点连续且具有 $n$ 阶连续导数的函数 $f (x)$ ，
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \, \mathrm{d}x = (-1)^n f^{(n)}(0)$
Delta 函数与普通函数的乘积
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \, \mathrm{d}x = f(0) g(0)$
因此，
$\delta(x) = f(0) \delta(x)$
例如，
$\delta(x) = 0$

Remarks

所有涉及 Delta 函数的等式均应在积分意义下理解。对于 Delta 函数的运算，通常将其转化为普通函数 $f (x)$ 的运算。例如， $\delta(x) = 0$ 应理解为
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \, \mathrm{d}x = 0$

Exercises

计算积分
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x$
计算积分
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2x}{x^2 + x + 1} \, \mathrm{d}x$

Delta 函数的 Fourier 展开

设有周期函数 $f (x)$ ，满足 $2\pi)$ 且符合 Dirichlet 条件，则可展开为
$\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}$
其中展开系数为
$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \, \mathrm{d}x$
代入 $c_n$ 并交换积分与求和次序，得
$\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi) \left[ \frac{1}{2\pi} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n (x - \xi)} \right] \, \mathrm{d}\xi$
因此，
$\delta(\xi - x) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n (x - \xi)}, \quad -\pi < x < \pi$

常微分方程的 Green 函数

初值问题

Example 19.4 求解常微分方程初值问题
$\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} = \delta(x - t), \quad x, t > 0$
初始条件为
$g|_{x = 0} = 0, \quad \left. \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = 0$

Solution: 直接积分得
$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = \eta(x - t) + \alpha(t)$
再积分得
$\eta(x - t) + \alpha(t) x + \beta(t)$
由初始条件
$g|_{x = 0} = 0 \Rightarrow \beta(t) = 0$
$\left. \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = 0 \Rightarrow \alpha(t) = 0$
因此，
$\eta(x - t)$
解及其导数

Analysis: 该问题的物理意义为 $\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2}$ 表示加速度，质点在 $x = t$ 时刻受到一个脉冲力，其总量为 1。初始位置为 0，受力后开始运动。

利用 Example 19.4 的结果，可以求解以下问题：
$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = f(x), \quad x > 0$
初始条件为
$\quad y'(0) = 0$
Solution: 由于
$\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x - t) \, \mathrm{d}t$
根据常微分方程解的叠加性，形式解为
$\int_{0}^{\infty} g(x; t) f(t) \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{x} (x - t) f(t) \, \mathrm{d}t$

初值问题

Example 19.5 求解常微分方程初值问题
$\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} + k^2 g(x; t) = \delta(x - t), \quad x, t > 0$
初始条件为
$g|_{x = 0} = 0, \quad \left. \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = 0$

Solution:

当 $\neq t$ 时，方程的非齐次项为 0。
在区间 $(0, t)$ 内，齐次方程的解为零解。
在区间 $\infty)$ 内，齐次微分方程的通解为
$\sin kx + D(t) \cos kx] \eta(x - t)$
由 $x = t$ 点的连续性要求确定 Green 函数：
- 在 $x = t$ 点，
  $g(x; t)|_{t^-}^{t^+} = 0$
  $\left. \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right|_{t^-}^{t^+} = 1$
- 在区间 $(0, t)$ 内，
  $\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} + k^2 g = 0$
  $g|_{x = 0} = 0, \quad \left. \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = 0$
- 在区间 $\infty)$ 内，
  $\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} + k^2 g = 0$
  解得
  $\frac{1}{k} \cos kt, \quad D(t) = -\frac{1}{k} \sin kt$
  因此，
  $\frac{1}{k} \sin k(x - t) \eta(x - t)$

Analysis: 现在可以写出如下非齐次方程的通解：
$\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} + k^2 g(x; t) = \delta(x - t), \quad x, t > 0$
利用 Example 19.5 的结果，可以求解非齐次方程初值问题：
$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + k^2 y(x) = f(x), \quad x > 0$
初始条件为
$\quad y'(0) = 0$
Solution:
$\frac{1}{k} \int_{0}^{x} f(t) \sin k(x - t) \, \mathrm{d}t$

Remarks: 对于一般的常微分方程初值问题的 Green 函数
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ p(x) \frac{\mathrm{d}g(x; t)}{\mathrm{d}x} \right] + q(x) g(x; t) = \delta(x - t), \quad x, t > 0$
初始条件为
$\quad \left. \frac{\mathrm{d}g(x; t)}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = 0$
且相应的齐次微分方程无奇点。则有：

$g (x; t)$ 在 $x < t$ 时一定为 0。
$g (x; t)$ 在 $x = t$ 时一定连续。
$\left. \frac{\mathrm{d}g(x; t)}{\mathrm{d}x} \right|_{t^-}^{t^+} = \frac{1}{p(t)}$

边值问题

Example 19.6 求解常微分方程边值问题
$\frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} = \delta(x - t), \quad a < x, t < b$
边界条件为
$\quad g(b; t) = 0$
微分方程与 Example 19.4 相同，故有相同的通解：
$\eta(x - t) + \alpha(t) x + \beta(t)$
由边界条件：
$\alpha(t) + \beta(t) = 0$
$\alpha(t) + \beta(t) = 0$
解得：
$\alpha(t) = -\frac{b - t}{b - a}, \quad \beta(t) = \frac{a(b - t)}{b - a}$
因此，
$\eta(x - t) - \frac{b - t}{b - a}(x - a)$
在这里插入图片描述

Question: 本例中的 Green 函数 $g (x; t)$ 是否仍然满足：

$g (x; t)$ 在 $x = t$ 点连续
$\left. \frac{\mathrm{d}g(x; t)}{\mathrm{d}x} \right|_{t^-}^{t^+} = 1$

Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | 定义、性质及物理意义…（篇 1）-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/151682410
Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | 定义、性质及物理意义…（篇 2）-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/155164259