PDE——delta函数

δ \delta δ函数

δ \delta δ函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0) f(x)δ(x)dx=f(0)


δ \delta δ函数也可以理解为(任意阶可微)函数序列的极限。
凡是具有 lim ⁡ l → 0 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ l ( x ) d x = f ( 0 ) \lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0) liml0f(x)δl(x)dx=f(0)性质的函数序列 δ l ( x ) \delta_l(x) δl(x),或是具有 lim ⁡ n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ n ( x ) d x = f ( 0 ) \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0) limnf(x)δn(x)dx=f(0)性质的函数序列 δ n ( x ) \delta_n(x) δn(x),他们的极限都是 δ \delta δ函数。
比如: δ ( x ) = lim ⁡ n → ∞ n π e − n 2 x 2 \delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}} δ(x)=limnπ nen2x2
δ ( x ) = lim ⁡ n → ∞ n π 1 1 + n 2 x 2 \delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}} δ(x)=limnπn1+n2x21
δ ( x ) = sin ⁡ n x π x \delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x} δ(x)=πxsinnx
delta函数逼近序列举例------
δ \delta δ函数的基本运算规则

  1. δ \delta δ函数和常数c的乘积
    ∫ − ∞ ∞ f ( x ) c δ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ c f ( x ) δ ( x ) d x = c f ( 0 ) \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned} f(x)cδ(x)dx=cf(x)δ(x)dx=cf(0)
  2. 平移变换, x → x − a x \rightarrow x-a xxa
    ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − a ) d x = ∫ − ∞ ∞ f ( t + a ) δ ( t ) d t = f ( a ) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a) f(x)δ(xa)dx=f(t+a)δ(t)dt=f(a)
  3. 放大或缩小, x → α x x \rightarrow \alpha x xαx
    ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( α x ) d x = ∫ − ∞ ∞ f ( t / α ) δ ( t ) d t ∣ α ∣ = 1 ∣ α ∣ f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0) f(x)δ(αx)dx=f(t/α)δ(t)αdt=α1f(0)
    这意味着 δ ( α x ) = 1 ∣ α ∣ δ ( x ) \delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x) δ(αx)=α1δ(x)
    特别是 α = − 1 \alpha=-1 α=1时, δ ( − x ) = δ ( x ) \delta(-x)=\delta(x) δ(x)=δ(x)
  4. delta函数的导数:对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
    ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ′ ( x ) d x = f ( x ) δ ( x ) ∣ − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) δ ( x ) d x = − f ′ ( 0 ) \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \
### 高阶偏微分方程 (PDE) 的数值解方法 高阶偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)是指涉及两个或更多自变量以及这些变量的导数超过一阶的方程。求解高阶 PDE 是科学研究和工程应用中的重要课题之一,由于其复杂性和非线性特性,解析解往往难以获得,因此数值解成为主要的研究手段。 #### 1. **有限差分法** 有限差分法是一种经典的数值方法,通过离散化连续域来近似偏导数。对于高阶 PDE,可以通过泰勒展开构建更高阶的差分格式。例如,在二维空间中,拉普拉斯算子 $\nabla^2 u$ 可以被离散为: $$ \nabla^2 u \approx \frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{\Delta y^2} $$ 这种方法适用于规则网格上的简单几何形状问题[^1]。然而,随着维度增加或者边界条件变得复杂,误差控制变得更加困难。 #### 2. **有限元法** 有限元法基于变分原理,将复杂的物理区域划分为若干个小单元,并在每个单元内部假设简单的函数形式作为基底函数。此方法特别适合处理具有不规则边界的高维问题。针对四阶及以上 PDEs 如薄板弯曲问题 ($\nabla^4 w = q/D$),采用 C¹ 连续性的 Hermite 插值多项式能够有效捕捉曲率变化[^2]。 #### 3. **谱方法** 谱方法利用全局光滑的基础函数(如三角函数、Chebyshev 多项式等),提供了一种高效途径解决某些特定类型的高阶 PDE。它能够在较粗略的空间分辨率下达到较高的精度,尤其当目标场本身较为平滑时表现优异。不过需要注意的是,如果初值含有间断,则可能会引发 Gibbs 现象[^3]。 ```python import numpy as np from scipy.fftpack import fft, ifft def spectral_diff(u, dx): N = len(u) k = np.fft.fftfreq(N, d=dx)*(2*np.pi) du_hat = 1j * k * fft(u) return ifft(du_hat).real ``` 以上代码片段展示了如何使用傅里叶变换实现基本的一阶导数计算过程。 #### 4. **多重网格技术** 为了加速迭代收敛速度并减少内存消耗,可以引入多层次结构——即所谓“多重网格”。这种策略先在一个粗糙尺度上快速消除低频错误成分;然后再逐步细化至更细密层次直至满足最终需求为止。这对于那些需要反复调整参数直到稳定状态才能得到理想结果的情况尤为有用。 --- ### 结论 综上所述,不同场景下的具体要求决定了选用何种具体的算法框架最为合适。无论是追求极致精确度还是兼顾效率与成本效益考量,现代计算工具箱提供了丰富的选项供探索者们挑选适用方案完成各自的任务挑战。
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