PDE——delta函数

$\delta$函数

$\delta$函数，并不是通常意义下的函数：它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\mathrm{d}x=f(0)$

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$\delta$函数也可以理解为（任意阶可微）函数序列的极限。
凡是具有${\lim }_{l\to 0}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x){\delta }_l(x)\mathrm{d}x=f(0)$性质的函数序列${\delta }_l(x)$，或是具有${\lim }_{n\to \infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x){\delta }_n(x)\mathrm{d}x=f(0)$性质的函数序列${\delta }_n(x)$，他们的极限都是$\delta$函数。
比如：$\delta (x)={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}$
$\delta (x)={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{\pi }\frac{1}{1+n^2{x}^2}$
$\delta (x)=\frac{\sin nx}{\pi x}$
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$\delta$函数的基本运算规则

1. $\delta$函数和常数c的乘积
   $\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)c\delta (x)\mathrm{d}x& ={\int }_{-\infty }^{\infty }cf(x)\delta (x)\mathrm{d}x\\ & =cf(0)\end{array}$
2. 平移变换，$x\to x-a$：
   ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-a)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t+a)\delta (t)\mathrm{d}t=f(a)$
3. 放大或缩小，$x\to \alpha x$：
   ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (\alpha x)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t/\alpha )\delta (t)\frac{\mathrm{d}t}{|\alpha |}=\frac{1}{|\alpha |}f(0)$
   这意味着$\delta (\alpha x)=\frac{1}{|\alpha |}\delta (x)$
   特别是$\alpha =-1$时，$\delta (-x)=\delta (x)$
4. delta函数的导数：对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
   ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ′ ( x ) d x = f ( x ) δ ( x ) ∣ − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) δ ( x ) d x = − f ′ ( 0 ) \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \