Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | 定义、性质及物理意义…（篇 2）

注：本文为 “Dirac‘s Delta Function” 相关 zhihu 文章重排。
如有内容异常，请看原文。

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[数学物理] - δ 函数

张稀桧 编辑于 2022-06-11 09:34

定义 I

在经典表述中，δ 函数被定义为：
$$\delta (x-x_0)=\{\begin{array}{ll}\infty & x=x_0\\ 0& x\ne x_0\end{array}$$
且满足归一化条件：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\text{d}x=1$$

该定义是 δ 函数最简洁且最契合物理直觉的表述形式，自然关联概率分布、点源与脉冲等物理模型。例如，三维欧几里得空间中的点电荷分布可描述为 $q\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)$；电信号中的理想脉冲信号可描述为 $k\delta (t-t_0)$。作为广义函数，δ 函数的极限特性使其具备独特的数学性质，以下基于定义 I 展开推导。

性质 I

1.0 正交性

$$x\delta (x)=0$$

[证]：根据定义 I，
当 $x\ne 0$ 时，$\delta (x)=0$，故 $x\delta (x)=0$；
当 $x=0$ 时，结合广义函数的积分意义，对任意连续函数 $f(x)$，有
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }x\delta (x)f(x)\text{d}x=0\cdot f(0)=0$$
因此 $x\delta (x)=0$ 在分布意义下成立。

该性质用于证明坐标本征函数（δ 函数）的正交归一性，且可推广为：

1.0* 若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $xf(x)=xg(x)$ 对所有 $x$ 成立，则存在常数 $c$，使得 $f(x)=g(x)+c\delta (x)$。

1.1 筛选性

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_0)\text{d}x=f(x_0)$$

[证]：由 δ 函数的极限特性，积分仅在 $x_0$ 邻域非零，即
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_0)\text{d}x=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{x_0-\epsilon }^{x_0+\epsilon }f(x)\delta (x-x_0)\text{d}x$$
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则在充分小的区间 $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ 内，$f(x)$ 的值 $\overline{f(x)}{|}_{x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )}$ 可近似为 $f(x_0)$，代入得
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_0)\text{d}x=f(x_0){\int }_{x_0-\epsilon }^{x_0+\epsilon }\delta (x-x_0)\text{d}x=f(x_0)$$
证毕。

该性质使 δ 函数具备对任意连续函数的筛选功能，是 δ 函数其他性质的重要基础。

1.2 奇偶性

$$\delta (x)=\delta (-x)$$

[证]：对任意连续函数 $f(x)$，考虑积分
$$I={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (-x)\text{d}x$$
令 $t=-x$，则 $\text{d}x=-\text{d}t$，积分变为
$$I={\int }_{+\infty }^{-\infty }f(-t)\delta (t)(-\text{d}t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(-t)\delta (t)\text{d}t=f(0)$$
另一方面，${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x)\text{d}x=f(0)$，故 $\delta (-x)=\delta (x)$。

δ 函数为偶函数，该性质在积分运算中可简化变量替换过程。

1.3 伸缩性

$$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$$

[证]：对任意连续函数 $f(x)$，考虑积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (ax)\text{d}x$$
当 $a>0$ 时，令 $t=ax$，则 $\text{d}x=\frac{1}{a}\text{d}t$，积分变为
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(\frac{t}{a}\right)\delta (t)\cdot \frac{1}{a}\text{d}t=\frac{1}{a}f(0)$$
当 $a<0$ 时，令 $t=ax$，则 $\text{d}x=\frac{1}{a}\text{d}t$，积分上下限交换，得
$${\int }_{+\infty }^{-\infty }f\left(\frac{t}{a}\right)\delta (t)\cdot \frac{1}{a}\text{d}t=-\frac{1}{a}f(0)=\frac{1}{|a|}f(0)$$
又 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\cdot \frac{1}{|a|}\delta (x)\text{d}x=\frac{1}{|a|}f(0)$，故 $\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$。

该性质可视为奇偶性的推广（当 $a=-1$ 时退化为奇偶性）。

1.4 自身筛选性

将筛选性应用于 δ 函数自身，可得：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-a)\delta (x-b)\text{d}x=\{\begin{array}{ll}\infty & a=b\\ 0& a\ne b\end{array}$$

由此进一步推广：

1.4* ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^2(x-a)\text{d}x=\infty$（其中 ${\delta }^2(x-a)=(\delta (x-a){)}^2$）。

1.5 延时性

$$\delta (x-a)\ast f(x)=f(x-a)$$

[证]：根据卷积的定义
$$\delta (x-a)\ast f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\xi )\delta (x-a-\xi )\text{d}\xi$$
令 $\eta =\xi -(x-a)$，则 $\text{d}\xi =\text{d}\eta$，积分变为
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\eta +x-a)\delta (-\eta )\text{d}\eta =f(x-a){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (\eta )\text{d}\eta =f(x-a)$$
证毕。

该结果直观体现了卷积的延时效应，即 δ 函数与任意函数的卷积等价于对该函数的平移操作。

进一步，两个 δ 函数的卷积满足：

1.5* $\delta (x-a)\ast \delta (x-b)=\delta (x-(a+b))$。

1.6 点源方程

δ 函数满足最简单的泊松方程：
$$-{\nabla }^2\phi =4\pi q\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)$$
由此可导出矢量分析恒等式：
$$\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3}=-{\nabla }^2\frac{1}{r}=4\pi \delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)$$

定义 II（傅里叶积分定义）

历史上，δ 函数最初作为傅里叶变换的辅助函数被提出。傅里叶在《热分析理论》（Théorie analytique de la chaleur）中考虑积分：
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{d}\alpha f(\alpha ){\int }_{-\infty }^{+\infty }\text{d}\omega \cos [\omega (x-\alpha )]$$
采用现代傅里叶变换的指数形式，上式可改写为：
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega x}\text{d}\omega$$
其中 $F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\alpha )e^{-i\omega \alpha }\text{d}\alpha$ 为 $f(x)$ 的傅里叶变换。

柯西指出，在分布意义下积分顺序可交换，即
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\omega (x-\alpha )}\text{d}\omega \right]f(\alpha )\text{d}\alpha$$
其中 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\omega (x-\alpha )}\text{d}\omega$ 起到筛选作用，因此定义：
$$\delta (x-\alpha )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\omega (x-\alpha )}\text{d}\omega$$

δ 函数的傅里叶变换需在分布意义下理解（δ 函数不满足通常的绝对可积条件），其傅里叶变换为：
$$\mathcal{F}[\delta (x-x_0)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x_0)e^{-i\omega x}\text{d}x=e^{-i\omega x_0}$$
当 $x_0=0$ 时，$\mathcal{F}[\delta (x)]=1$，代入傅里叶逆变换公式，可得：
$$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\omega x}\text{d}\omega$$
该式与上述定义完全等价，称为 δ 函数的傅里叶积分定义。

性质 II

2.0 辅助函数（初生 δ 函数）

定义 I 的特征启发我们：存在一类经典函数，其极限形式可过渡为 δ 函数，这类函数称为 δ 函数的辅助函数（或初生 δ 函数）。

设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数族 { f α ( x ) } \{f_\alpha (x)\} {fα​(x)}（$\alpha$ 为参数）满足以下条件：

1. $f_{\alpha }(x)$ 的最大值在 $x=0$ 处取得，即 $f_{\alpha }(x{)}_{\text{max}}=f_{\alpha }(0)$；
2. 归一化条件：${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{\alpha }(x)\text{d}x=1$；
3. 极限性质：${\lim }_{\alpha \to {\alpha }_0}{f}_{\alpha }(0)=\infty$。

则 ${\lim }_{\alpha \to {\alpha }_0}{f}_{\alpha }(x)=\delta (x)$（在分布意义下收敛）。以下为常见的辅助函数（证明略）：

• 抽样函数：$V_{\alpha }(x)=\frac{\sin \alpha x}{\pi x}$
  
• 高斯核（热核）：$G_{\alpha }(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi \alpha }}{e}^{-\frac{x^2}{\alpha }}$（由无限长细杆热传导问题导出）
  
• 泊松核：$L_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\frac{\alpha }{x^2+{\alpha }^2}$（由半平面拉普拉斯方程问题导出）
  
• 平方型抽样函数：$S_{\alpha }(x)=\frac{\alpha }{\pi x^2}{\sin }^2\left(\frac{x}{\alpha }\right)$
  
• 指数函数：$E_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\alpha }{e}^{-\frac{|x|}{\alpha }}$
  
• 振荡函数：$I_{\alpha }(x)=\sqrt{\frac{\alpha }{\pi }}{e}^{i\frac{\pi }{4}}{e}^{-i\alpha x^2}$（极限下逐点收敛于 δ 函数）
  
• 截断傅里叶积分：$W_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\alpha }^{+\alpha }{e}^{i\omega x}\text{d}\omega$（图略）；
• 费耶核特例：$C_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\frac{1-{\alpha }^2}{1-2\alpha \cos x+{\alpha }^2}$（$\alpha \in (0,1)$，定义域为 $[-\pi ,\pi ]$，已归一化）
  

2.1 Dirichlet 核（δ 函数辅助函数的应用）

Dirichlet 核是 δ 函数的重要辅助函数，用于证明 Dirichlet 定理的充分性。

2.1.1 Dirichlet 核的定义

考虑求和 $S_m(x)=1+2{\sum }_{n=1}^m\cos nx$，利用三角恒等式

$\sin \frac{x}{2}\cos nx=\frac{1}{2}\left[\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)x-\sin \left(n-\frac{1}{2}\right)x\right]$，

裂项求和得：
$$\sin \frac{x}{2}{S}_m(x)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(m+\frac{1}{2}\right)x-\sin \frac{x}{2}\right]$$
因此
$$S_m(x)=\frac{\sin \left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\sin \frac{x}{2}}$$
对 $S_m(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上积分，因余弦函数为偶函数，求和项积分均为 0，故
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin \left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\sin \frac{x}{2}}\text{d}x=2\pi$$
定义归一化的 Dirichlet 核：
$$D_m(x)=\frac{1}{2\pi }\frac{\sin \left(m+\frac{1}{2}\right)x}{\sin \frac{x}{2}}$$
其满足：

1. 归一化条件：${\int }_{-\pi }^{\pi }{D}_m(x)\text{d}x=1$；
2. 极限性质：${\lim }_{m\to \infty }{\lim }_{x\to 0}{D}_m(x)={\lim }_{m\to \infty }\frac{2m+1}{2\pi }=\infty$。

因此 ${\lim }_{m\to \infty }{D}_m(x)=\delta (x)$（$x\in [-\pi ,\pi ]$，分布意义下收敛）。

2.1.2 Dirichlet 倍核

定义 Dirichlet 倍核：
$$B_m(x)=2D_m(x)(x\in [0,\pi ])$$
其在非对称区间 $[0,\pi ]$ 上满足归一化条件，极限形式同样为 δ 函数。

2.1.3 Dirichlet 定理的充分性证明

在傅里叶分析中，Dirichlet 定理表述为：

若函数 $f(x)$ 满足：

1. 在 $(-\pi ,\pi )$ 内除有限点外有定义且单值；
2. 在 $(-\pi ,\pi )$ 外为周期 $2\pi$ 的周期函数；
3. 在 $(-\pi ,\pi )$ 内分段光滑（即 $f(x)$ 及其一阶导数 $f^{\prime }(x)$ 分段连续），
   则 $f(x)$ 的傅里叶级数 $a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 收敛于：

• $f(x)$（若 $x$ 为连续点）；
• $\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$（若 $x$ 为第一类间断点，$f(x\pm 0)$ 分别为左右极限）。

在傅里叶级数的研究中，必须分析其在连续点和第一类间断点的收敛性，因为这些点满足 Dirichlet 条件。一种有效的方法是将级数表示为部分和的形式进行计算，然后将求和上限的参数取极限趋近于无穷大。这一极限过程可以理解为积分内辅助函数向 Dirac δ 函数的过渡。

[证]：考虑傅里叶级数的部分和
$$F_m(x)=a_0+\sum _{n=1}^m(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
其中傅里叶系数为：
$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\text{d}t,a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\cos nt\text{d}t,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sin nt\text{d}t$$
将系数代入部分和，利用和角公式 $\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx=\cos [n(x-t)]$，得

$$\begin{array}{rl}{F}_m(x)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\text{d}t+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^m{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\left(\cos nt\cos nx+\sin nt\sin nx\right)\text{d}t\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\left[1+2\sum _{n=1}^m\cos n(x-t)\right]\text{d}t\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_m(x-t)\text{d}t\end{array}$$

1. 连续点情形：
   当 $x$ 为连续点时，$m\to \infty$ 时 $D_m(x-t)$ 收敛于 $\delta (x-t)$，故

$$\begin{array}{rl}\underset{m\to \infty }{\lim }{F}_m(x)& =\underset{m\to \infty }{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_m(x-t)dt\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\delta (x-t)dt\\ & =f(x)\end{array}$$

2. 第一类间断点情形：

   利用 Dirichlet 核的偶性（$D_m(t)=D_m(-t)$），对积分区间拆分并做变量替换 $t\to x\pm t$，结合 Dirichlet 倍核 $B_m(t)=2D_m(t)$，可得：
   $$\begin{array}{rl}{F}_m(x)& ={\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_m(x-t)\text{d}t\\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_m(t)\text{d}t+{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+t)D_m(t)\text{d}t\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[{\int }_0^{\pi }f(x-t)B_m(t)\text{d}t+{\int }_0^{\pi }f(x+t)B_m(t)\text{d}t\right]\end{array}$$

   令 $m\to \infty$，Dirichlet 倍核 $B_m(t)$ 收敛于 $\delta (t)$，因此：
   $$\begin{array}{rl}\underset{m\to \infty }{\lim }{F}_m(x)& =\frac{1}{2}\left[{\int }_0^{\pi }f(x-t)\delta (t)\text{d}t+{\int }_0^{\pi }f(x+t)\delta (t)\text{d}t\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[f(x-0)+f(x+0)\right]\end{array}$$

   综上， 证毕（Dirichlet 定理的充分性得证）。

2.2 δ 函数与连续谱本征函数

2.2.1 坐标算符的连续谱本征函数

坐标算符 $\hat{x}$ 的本征方程为：
$$\hat{x}|x^{\prime }⟩=x^{\prime }|x^{\prime }⟩$$
由性质 1.0 可知，$x\delta (x)=0$，$\delta (x-x^{\prime })$ 满足 $(x-x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })=0$，故 $\delta (x-x^{\prime })$ 是坐标算符在坐标表象中的本征函数，其满足：

1. 正交归一性：$⟨x^{\prime }|x^{\prime \prime }⟩={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x^{\prime })\delta (x-x^{\prime \prime })\text{d}x=\delta (x^{\prime }-x^{\prime \prime })$；
2. 完备性：任意连续函数可按本征函数集展开
   $$f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x^{\prime })\delta (x-x^{\prime })\text{d}{x}^{\prime }$$

坐标表象中力学量的矩阵表示

在坐标表象下，力学量对应的矩阵元（$⟨x^{\prime }|\hat{O}|x^{\prime \prime }⟩$）形式如下：

矩阵元直接由坐标算符的本征性质（$\hat{x}|x^{\prime \prime }⟩=x^{\prime \prime }|x^{\prime \prime }⟩$）结合 δ 函数的筛选性得：
$$⟨x^{\prime }|\hat{x}|x^{\prime \prime }⟩=x^{\prime }\delta (x^{\prime }-x^{\prime \prime })$$

势能算符是坐标的函数（$\hat{V}=V(x)$），同理由本征性质得：
$$⟨x^{\prime }|\hat{V}|x^{\prime \prime }⟩=V(x^{\prime })\delta (x^{\prime }-x^{\prime \prime })$$
（其中 $V(x)$ 为势能函数）

推导过程：利用表象变换（插入动量本征态完备集 $\iint d{p}^{\prime }d{p}^{\prime \prime }|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\otimes |p^{\prime \prime }⟩⟨p^{\prime \prime }|$），结合坐标 - 动量表象变换关系 $⟨x|p⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{ipx}{\hslash }}$，及动量算符的本征方程 $⟨p^{\prime }|\hat{p}|p^{\prime \prime }⟩=p^{\prime }\delta (p^{\prime }-p^{\prime \prime })$，展开得：
$$\begin{array}{rl}⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{\prime \prime }⟩& =\iint d{p}^{\prime }d{p}^{\prime \prime }⟨x^{\prime }|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|\hat{p}|p^{\prime \prime }⟩⟨p^{\prime \prime }|x^{\prime \prime }⟩\\ & =\iint d{p}^{\prime }d{p}^{\prime \prime }\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{i{p}^{\prime }{x}^{\prime }}{\hslash }}\cdot p^{\prime }\delta (p^{\prime }-p^{\prime \prime })\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{-i{p}^{\prime \prime }{x}^{\prime \prime }}{\hslash }}\\ & =\frac{1}{2\pi \hslash }\int d{p}^{\prime }{p}^{\prime }{e}^{\frac{i{p}^{\prime }(x^{\prime }-x^{\prime \prime })}{\hslash }}\end{array}$$
将动量 $p^{\prime }$ 替换为微分算符 $p^{\prime }=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^{\prime }}$（作用于指数项），再利用积分 $\int d{p}^{\prime }{e}^{\frac{i{p}^{\prime }(x^{\prime }-x^{\prime \prime })}{\hslash }}=2\pi \hslash \delta (x^{\prime }-x^{\prime \prime })$，最终得：
$$⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{\prime \prime }⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{\prime \prime })$$

2.2.2 动量算符的连续谱本征函数

动量算符 $\hat{p}$ 的本征方程为：
$$\hat{p}|p^{\prime }⟩=p^{\prime }|p^{\prime }⟩$$
其本征函数在坐标表象中为 ${\psi }_{p^{\prime }}(x)=c{e}^{\frac{i{p}^{\prime }x}{\hslash }}$，由正交归一性 $⟨p^{\prime }|p^{\prime \prime }⟩=\delta (p^{\prime }-p^{\prime \prime })$ 可确定归一化常数 $c=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}$，即
$${\psi }_{p^{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{\frac{i{p}^{\prime }x}{\hslash }}$$

动量本征函数满足完备性，任意连续函数的傅里叶变换可表示为：
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }⟨x|p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|f⟩\text{d}{p}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(p^{\prime })e^{\frac{i{p}^{\prime }x}{\hslash }}\text{d}{p}^{\prime }$$
其中 $F(p^{\prime })=⟨p^{\prime }|f⟩$ 为 $f(x)$ 的傅里叶变换。δ 函数的展开式为：
$$\delta (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_{p^{\prime }}(x)\text{d}{p}^{\prime }$$

动量表象中力学量的矩阵表示可通过坐标表象变换得到，关键是将坐标替换为 $i\hslash \frac{\partial }{\partial p^{\prime }}$，δ 函数内的变量替换为动量。

定义 III（阶梯函数导数定义）

δ 函数可定义为阶梯函数的导数。阶梯函数（海维赛德函数）的定义为：
$$\theta (x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ 0& x<0\end{array}$$
其中 $\theta (0)$ 通常定义为 $\frac{1}{2}$（广义函数意义下不影响积分结果）。

[证]：对任意连续可微函数 $f(x)$，考虑积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\theta }^{\prime }(x)\text{d}x$$
分部积分得
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\theta }^{\prime }(x)\text{d}x=f(x)\theta (x){|}_{-\infty }^{+\infty }-{\int }_{-\infty }^{+\infty }\theta (x)f^{\prime }(x)\text{d}x$$
因 $f(x)$ 快速衰减（广义函数意义下），$f(\infty )\theta (\infty )-f(-\infty )\theta (-\infty )=0$，且 $\theta (x)$ 在 $x<0$ 时为 0，故
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\theta }^{\prime }(x)\text{d}x=-{\int }_0^{+\infty }{f}^{\prime }(x)\text{d}x=f(0)$$
又 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x)\text{d}x=f(0)$，且 $f(x)$ 任意，故 ${\theta }^{\prime }(x)=\delta (x)$。

广义而言，任意非连续函数在间断点处的导数（分布意义下）均包含 δ 函数项。

性质 III

3.0 热统中的态密度应用

在统计物理中，δ 函数用于将离散的能级求和转化为连续的积分。宏观无穷小量 $\text{d}E$ 包含大量微观能级，引入态密度 $D(\epsilon )$ 描述单位能量区间内的状态数，其定义为：
$$D(\epsilon )\text{d}\epsilon ={\int }_{\epsilon \le H<\epsilon +\text{d}\epsilon }\frac{\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}}{h^3}$$
其中 $H$ 为哈密顿量，$\frac{\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}}{h^3}$ 为相空间的状态数密度。

利用阶梯函数的导数定义，态密度可改写为：
$$D(\epsilon )\text{d}\epsilon =\int \left[\theta (\epsilon +\text{d}\epsilon -H)-\theta (\epsilon -H)\right]\frac{\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}}{h^3}=\int \delta (\epsilon -H)\text{d}\epsilon \frac{\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}}{h^3}$$
因此
$$D(\epsilon )=\int \delta (\epsilon -H)\frac{\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}}{h^3}$$

示例 1：经典非相对论粒子（$H=\frac{p^2}{2m}$）

单粒子态密度为：
$$D(E)=\frac{1}{h^3}\int \delta \left(E-\frac{p^2}{2m}\right)\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}=\frac{V}{h^3}\int \delta \left(E-\frac{p^2}{2m}\right)4\pi p^2\text{d}p$$
令 $t=\frac{p^2}{2m}$，则 $p=\sqrt{2mt}$，$\text{d}p=\frac{\sqrt{2m}}{2\sqrt{t}}\text{d}t$，代入得
$$D(E)=\frac{4\pi V}{h^3}\sqrt{2m}\int \delta (E-t)\sqrt{t}\text{d}t=\frac{4\pi V(2m{)}^{\frac{3}{2}}}{2h^3}\sqrt{E}$$
多粒子系统（$N$ 个全同粒子）的态密度为：
$$D(E)=\frac{V^N(2m{)}^{\frac{3N}{2}}{k}_{3N}}{2N!h^{3N}}{E}^{\frac{3N}{2}-1}$$
其中 $k_n=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$ 为 $n$ 维球面积分系数。

3.1 复合 δ 函数

若函数 $\psi (x)$ 仅有单根 $x_i$（即 $\psi (x_i)=0$ 且 ${\psi }^{\prime }(x_i)\ne 0$），则
$$\delta [\psi (x)]=\sum _i\frac{\delta (x-x_i)}{|{\psi }^{\prime }(x_i)|}$$

[证]：因 $\delta [\psi (x)]$ 仅在 $\psi (x)=0$ 处非零，可设 $\delta [\psi (x)]={\sum }_i{a}_i\delta (x-x_i)$。对任意连续函数 $f(x)$，考虑积分
$${\int }_{x_j-\epsilon }^{x_j+\epsilon }f(x)\delta [\psi (x)]\text{d}x=a_{j}f(x_j)$$
令 $t=\psi (x)$，则 $\text{d}x=\frac{\text{d}t}{{\psi }^{\prime }(x)}$，当 $\epsilon \to 0$ 时，$\psi (x)$ 在 $x_j$ 附近单调，积分变为
$${\int }_{\psi (x_j-\epsilon )}^{\psi (x_j+\epsilon )}f\left({\psi }^{-1}(t)\right)\delta (t)\cdot \frac{\text{d}t}{|{\psi }^{\prime }({\psi }^{-1}(t))|}=f(x_j)\cdot \frac{1}{|{\psi }^{\prime }(x_j)|}$$
故 $a_j=\frac{1}{|{\psi }^{\prime }(x_j)|}$，因此 $\delta [\psi (x)]={\sum }_i\frac{\delta (x-x_i)}{|{\psi }^{\prime }(x_i)|}$。

常见推论：
$$\delta (x^2-a^2)=\frac{1}{2|x|}\left[\delta (x-a)+\delta (x+a)\right](a\ne 0)$$
$$\delta (\sin x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{\delta (x-k\pi )}{|\cos (k\pi )|}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta (x-k\pi )$$
$$\delta (\cos x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{\delta \left(x-\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \right)}{|\sin \left(\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \right)|}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\delta \left(x-\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi \right)$$

示例 2：非极端相对论粒子（$H=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$）

单粒子态密度为：
$$D(E)=\frac{1}{h^3}\int \delta \left(E-\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}\right)\text{d}\mathbf{p}\text{d}\mathbf{r}=\frac{V}{h^3}\int \delta \left(E-\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}\right)4\pi p^2\text{d}p$$
令 $t=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$，则 $t^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$，$2t\text{d}t=2p{c}^2\text{d}p$，即 $\text{d}p=\frac{t\text{d}t}{p{c}^2}$，代入复合 δ 函数性质：
$$\delta (E-t)=\frac{1}{|\frac{\text{d}t}{\text{d}p}|}\delta (p-p_0)=\frac{p{c}^2}{t}\delta (p-p_0)$$
其中 $p_0=\frac{\sqrt{E^2-m^2{c}^4}}{c}$，$t=E$，故
$$D(E)=\frac{4\pi V}{h^3}\int p^2\cdot \frac{p{c}^2}{E}\delta (p-p_0)\text{d}p=\frac{4\pi V{c}^2}{E{h}^3}{p}_0^3=\frac{4\pi VE\sqrt{E^2-m^2{c}^4}}{c^3{h}^3}$$

定义 IV（分布 / 测度定义）

从广义函数（分布）理论出发，δ 函数的严格定义为：

4.1 分布意义下的定义

δ 函数是施瓦茨空间 $S({\mathbb{R}}^n)$ 上的线性连续泛函，即 $\delta :S({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C}$，满足：

1. 线性性：对任意 ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in S({\mathbb{R}}^n)$ 及复数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$，有
   $$\delta ({\lambda }_1{\varphi }_1+{\lambda }_2{\varphi }_2)={\lambda }_1\delta ({\varphi }_1)+{\lambda }_2\delta ({\varphi }_2)$$
2. 连续性：若序列 { ϕ k } ⊂ S ( R n ) \{\phi_k\}\subset S (\mathbb {R}^n) {ϕk​}⊂S(Rn) 满足 “快速衰减” 和 “各阶导数快速衰减”（即对任意非负整数多重指标 $\alpha ,\beta$，${\sup }_{x\in {\mathbb{R}}^n}|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }{\varphi }_k(x)|\to 0$），则
   $$\underset{k\to \infty }{\lim }\delta ({\varphi }_k)=0$$
   且该泛函的作用形式为：
   $$⟨{\delta }_{x_0},\varphi ⟩=\varphi (x_0)\forall \varphi \in S({\mathbb{R}}^n)$$
   其中 ${\delta }_{x_0}$ 表示集中在点 $x_0$ 的 δ 函数，当 $x_0=0$ 时简记为 $\delta$，即 $⟨\delta ,\varphi ⟩=\varphi (0)$。

4.2 测度意义下的定义

从测度论角度，δ 函数是集中在点 $x_0$ 的狄拉克测度 ${\mu }_{x_0}$，满足：

1. 对任意波莱尔集 $A\subset {\mathbb{R}}^n$，有
   $${\mu }_{x_0}(A)=\{\begin{array}{ll}1& x_0\in A\\ 0& x_0\notin A\end{array}$$
2. 对任意非负可测函数 $f$ 或积分绝对收敛的可测函数 $f$，有
   $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\text{d}{\mu }_{x_0}(x)=f(x_0)$$

分布定义与测度定义等价，均为 δ 函数的严格数学基础，避免了经典定义中 “无穷大” 的直观表述。

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• Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | 定义、性质及物理意义…（篇 1）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/151682410
• Dirac delta function(狄拉克 δ 函数) | …（篇 3）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/155165765

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via：

• [数学物理]- δ 函数 - 知乎 张稀桧 发布于 2020-08-04 10:54
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/166150375