泛函分析基础10-巴拿赫空间中的基本定理1：泛函延拓定理

从第七章涉足泛函分析领域之后，我们已经看到了泛函分析方法的威力.例如一些原本相距甚远的种种收敛概念，结果都可以统一地看作是在某种空间依某种意义的度量收敛.抽象概括好比登高望远，把许多数学内涵揭示得十分清楚.平方可积函数空间的出现，把三角级数的理论一下子提升到更加宏观的水平.正如杜甫的登泰山诗所云：“会当凌绝顶，一览众山小”

但是，抽象概括、拓宽数学视野只是泛函分析方法威力的一个方面，更为重要的是它的深刻性：可以看到古典分析方法所看不到的东西.本章所叙述的四个基本定理，揭示了泛函分析方法的深刻一面.

第一个定理，称为哈恩-巴拿赫(Hahn -Banach )泛函延拓定理，正如 $xOy$平面上的一条直线 $ax+by=0,$ 可 以延拓为 $xyz$ 空间中的平面$ax+by+cz=0$ 一样，无限维的赋范线性空间中的泛函也可以由子空间上的泛函延拓而来.这一定理保证了有足够多的泛函存在，以至把 $C[a,b]$等空间上的所有泛函都找出来（黎曼积分仅是 $C[a,b]$上的一个泛函)，形成它们的共轭空间，这种空间之间的对应关系，揭示了深层次的分析学联结.

接下来的两个定理很出乎人们的意料.一致有界性定理说"巴拿赫空间上一个泛函如果点点有界，那么就一致有界"逆算子定理说"如果巴拿赫空间之间的一个连续线性算子是一对一的，那么逆算子不仅存在，而且还是连续的"表面上这似乎和数学分析中的结论相违背，其实这是无限维空间上线性泛函和线性算子的特征.微积分学研究的是有限维空间上"非线性"函数的特性（可导是近似线性），泛函分析处理的却是无限维空间上的"线性"泛函（算子）性质，二者有联系，但有区别.细细体会，可以明白其中的奥妙.

更令人惊奇的是，运用上面两个定理可以看到：一些原本在古典分析望眼欲穿（不能处理，或者很难处理)的问题，在这里却一眼就看穿了.比如"在给定的$t_0\in [0,2\pi ]$处，总有一个连续函数的傅里叶级数在该点发散"用数学分析方法正面处理很难，而它却只是一致有界原理的一个简单推论.求解微分方程、积分方程，往往就是求逆算子的问题，一旦知道逆算子是连续算子，可以得到的信息当然非常宝贵.本章处理的类似结果很多（包括习题），可以说举不胜举.

第四个定理是闭图像定理，它只是逆算子定理的推论，相比之下，较不重要，

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本节所讨论的问题是：任何非零赋范空间上是否有非零连续线性泛函？如果有，是否有足够多？这些问题与下面的泛函延拓问题有关，即在一个子空间（哪怕是有限维子空间)上连续线性泛函是否可以延拓成为整个空间上的连续线性泛函而保持范数不变？这些都是泛函分析中的最基本问题

我们把问题提得更具体一些.设 $X$ 是赋范线性空间， $Z$ 是 $X$ 的 子空间$,f$ 是 $Z$ 上 连续线性泛函，令则 $\Vert f{\Vert }_z<\infty ,$ 于是当 $x\in Z$ 时，有$|f(x)|⩽\Vert f{\Vert }_z$$\Vert f{\Vert }_z={\sup }_{x\in 1=1}|f(x)|,$$\Vert x\Vert ,$ 现在问：是否存在整个空间 $X$ 上的连续线性泛函$\tilde{f},$ 使当 $x\in Z$ 时，有 $\tilde{f}(x)=$$f(x),$ 并且 $\Vert \tilde{f}{\Vert }_x=\Vert f{\Vert }_z,$即对任何 $x\in X,$ 成立$|\tilde{f}(x)|⩽\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert ？$

为了解决这个问题，我们令 $p(x)=\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert ,$ 则$p(x)$ 是在整个 $X$ 上有定义的泛函，并且满足

• $1^{\circ }p(\alpha x)=|\alpha |p(x),x\in X,\alpha$为数；
• $2^{\circ }p(x+y)⩽p(x)+p(y),x,y\in X,$

称 $X$ 上 满足条件 $1^{\circ }$ 和 $2^{\circ }$ 的泛函为次线性泛函.这样，前面所提问题可以化成下面更一般的问题：设 $f$ 是线性空间 $X$ 的 子空间 $Z$ 上 定义的线性泛函，$p(x)$ 是 $X$ 上的次线性泛函，满足 $|f(x)|⩽p(x),x\in Z,$ 问是否存在 $X$
上定义的线性泛函 $\tilde{f},$ 使在 $Z$ 上有 $\tilde{f}(x)=$$f(x),$ 并且满足$|\bar{f}(x)|⩽p(x),x\in X?$

定理1（哈恩-巴拿赫泛函延拓定理）

设 $X$ 是实线性空间， $p(x)$ 是 $X$上次线性泛函.若 $f$ 是 $X$ 的 子空间 $Z$ 上 的实线性泛函，且被 $p(x)$控制，即满足

$$f(x)⩽p(x),x\in Z,$$

则存在 $X$ 上的实线性泛函 $\tilde{f},$ 使当 $x\in Z$ 时，有$\tilde{f}(x)=f(x),$ 并且在整个空间 $X$ 上仍被$p(x)$ 控制，

$$\tilde{f}(x)⩽p(x),x\in X.$$

证明
不妨设 $Z$ 为 $X$ 的 真子空间，否则结论是平凡的.我们首先证明 $f$可以延拓成比 $Z$ 多一维的 $X$ 的 子空间上并且在该子空间上仍被 $p(x)$ 控制因$Z\ne X,$ 存在 $x_0\in X,$但 $x_0\notin Z.$ 记 $Y$ 为由 $Z$ 和 $x_0$所张成的线性子空间，则 $Y$ 中任何元素 $y,$ 可以被唯一地表示为 $y=x+t{x}_0,$ 其中 $x\in Z,t$ 是实数.事实上，若又有$y=x_1+t_1{x}_0,x_1\in Z,t_1$为实数，则有$x-x_1=\left(t_1-t\right)x_0,$ 但$x-x_1\in Z,x_0\ne 0,$ 且 $x_0\notin Z,$所以必须 $t_1-t=0$