泛函分析基础10-巴拿赫空间中的基本定理1：泛函延拓定理

从第七章涉足泛函分析领域之后，我们已经看到了泛函分析方法的威力.例如一些原本相距甚远的种种收敛概念，结果都可以统一地看作是在某种空间依某种意义的度量收敛.抽象概括好比登高望远，把许多数学内涵揭示得十分清楚.平方可积函数空间的出现，把三角级数的理论一下子提升到更加宏观的水平.正如杜甫的登泰山诗所云：“会当凌绝顶，一览众山小”

但是，抽象概括、拓宽数学视野只是泛函分析方法威力的一个方面，更为重要的是它的深刻性：可以看到古典分析方法所看不到的东西.本章所叙述的四个基本定理，揭示了泛函分析方法的深刻一面.

第一个定理，称为哈恩-巴拿赫(Hahn -Banach )泛函延拓定理，正如 $xOy$平面上的一条直线 $ax+by=0,$ 可 以延拓为 $xyz$ 空间中的平面$ax+by+cz=0$ 一样，无限维的赋范线性空间中的泛函也可以由子空间上的泛函延拓而来.这一定理保证了有足够多的泛函存在，以至把 $C[a,b]$等空间上的所有泛函都找出来（黎曼积分仅是 $C[a,b]$上的一个泛函)，形成它们的共轭空间，这种空间之间的对应关系，揭示了深层次的分析学联结.

接下来的两个定理很出乎人们的意料.一致有界性定理说"巴拿赫空间上一个泛函如果点点有界，那么就一致有界"逆算子定理说"如果巴拿赫空间之间的一个连续线性算子是一对一的，那么逆算子不仅存在，而且还是连续的"表面上这似乎和数学分析中的结论相违背，其实这是无限维空间上线性泛函和线性算子的特征.微积分学研究的是有限维空间上"非线性"函数的特性（可导是近似线性），泛函分析处理的却是无限维空间上的"线性"泛函（算子）性质，二者有联系，但有区别.细细体会，可以明白其中的奥妙.

更令人惊奇的是，运用上面两个定理可以看到：一些原本在古典分析望眼欲穿（不能处理，或者很难处理)的问题，在这里却一眼就看穿了.比如"在给定的$t_0\in [0,2\pi ]$处，总有一个连续函数的傅里叶级数在该点发散"用数学分析方法正面处理很难，而它却只是一致有界原理的一个简单推论.求解微分方程、积分方程，往往就是求逆算子的问题，一旦知道逆算子是连续算子，可以得到的信息当然非常宝贵.本章处理的类似结果很多（包括习题），可以说举不胜举.

第四个定理是闭图像定理，它只是逆算子定理的推论，相比之下，较不重要，

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本节所讨论的问题是：任何非零赋范空间上是否有非零连续线性泛函？如果有，是否有足够多？这些问题与下面的泛函延拓问题有关，即在一个子空间（哪怕是有限维子空间)上连续线性泛函是否可以延拓成为整个空间上的连续线性泛函而保持范数不变？这些都是泛函分析中的最基本问题

我们把问题提得更具体一些.设 $X$ 是赋范线性空间， $Z$ 是 $X$ 的 子空间$,f$ 是 $Z$ 上 连续线性泛函，令则 $\Vert f{\Vert }_z<\infty ,$ 于是当 $x\in Z$ 时，有$|f(x)|⩽\Vert f{\Vert }_z$$\Vert f{\Vert }_z={\sup }_{x\in 1=1}|f(x)|,$$\Vert x\Vert ,$ 现在问：是否存在整个空间 $X$ 上的连续线性泛函$\tilde{f},$ 使当 $x\in Z$ 时，有 $\tilde{f}(x)=$$f(x),$ 并且 $\Vert \tilde{f}{\Vert }_x=\Vert f{\Vert }_z,$即对任何 $x\in X,$ 成立$|\tilde{f}(x)|⩽\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert ？$

为了解决这个问题，我们令 $p(x)=\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert ,$ 则$p(x)$ 是在整个 $X$ 上有定义的泛函，并且满足

• $1^{\circ }p(\alpha x)=|\alpha |p(x),x\in X,\alpha$为数；
• $2^{\circ }p(x+y)⩽p(x)+p(y),x,y\in X,$

称 $X$ 上 满足条件 $1^{\circ }$ 和 $2^{\circ }$ 的泛函为次线性泛函.这样，前面所提问题可以化成下面更一般的问题：设 $f$ 是线性空间 $X$ 的 子空间 $Z$ 上 定义的线性泛函，$p(x)$ 是 $X$ 上的次线性泛函，满足 $|f(x)|⩽p(x),x\in Z,$ 问是否存在 $X$
上定义的线性泛函 $\tilde{f},$ 使在 $Z$ 上有 $\tilde{f}(x)=$$f(x),$ 并且满足$|\bar{f}(x)|⩽p(x),x\in X?$

定理1（哈恩-巴拿赫泛函延拓定理）

设 $X$ 是实线性空间， $p(x)$ 是 $X$上次线性泛函.若 $f$ 是 $X$ 的 子空间 $Z$ 上 的实线性泛函，且被 $p(x)$控制，即满足

$$f(x)⩽p(x),x\in Z,$$

则存在 $X$ 上的实线性泛函 $\tilde{f},$ 使当 $x\in Z$ 时，有$\tilde{f}(x)=f(x),$ 并且在整个空间 $X$ 上仍被$p(x)$ 控制，

$$\tilde{f}(x)⩽p(x),x\in X.$$

证明
不妨设 $Z$ 为 $X$ 的 真子空间，否则结论是平凡的.我们首先证明 $f$可以延拓成比 $Z$ 多一维的 $X$ 的 子空间上并且在该子空间上仍被 $p(x)$ 控制因$Z\ne X,$ 存在 $x_0\in X,$但 $x_0\notin Z.$ 记 $Y$ 为由 $Z$ 和 $x_0$所张成的线性子空间，则 $Y$ 中任何元素 $y,$ 可以被唯一地表示为 $y=x+t{x}_0,$ 其中 $x\in Z,t$ 是实数.事实上，若又有$y=x_1+t_1{x}_0,x_1\in Z,t_1$为实数，则有$x-x_1=\left(t_1-t\right)x_0,$ 但$x-x_1\in Z,x_0\ne 0,$ 且 $x_0\notin Z,$所以必须 $t_1-t=0,$ 因而 $t_1=t,x_1=x.$我们首先把 $Z$ 上的泛函 $f$ 延拓到 $Y$ 上.如果线性泛函 $g$ 是 $f$ 在 $Y$ 上的延拓，则对 $Y$ 中任意向量$y=x+t{x}_0,x\in Z,t$ 为实数，有

$$g(y)=f(x)+\mathrm{tg}\left(x_0\right),$$

其中 $f(x)$ 是已知的（因 $x\in Z),y$ 给 定后， $t$也唯一确定了，因此要确定 $g$ 在 $y$ 的 值，只要确定与 $x$ 和 $t$ 都 无关的实数值 $g\left(x_0\right),$使对任何 $y\in Y,$ 都有 $g(y)⩽p(y),$ 即只要寻找实数 $c,$ 使不等式

$$f(x)+tc⩽p\left(x+t{x}_0\right)$$

对一切 $x\in Z$ 和一切实数 $t$ 成 立，为此，只要寻找实数 $c,$ 使对一切$x\in X$ 和一切 $t>0,$ 不等式

$$c⩽\frac{1}{t}\left[p\left(x+t{x}_0\right)-f(x)\right]=p\left(\frac{x}{t}+x_0\right)-f\left(\frac{x}{t}\right)$$

和对一切 $x\in X,t<0,$ 不等式

$$c⩾\frac{1}{t}\left[p\left(x+t{x}_0\right)-f(x)\right]=-p\left(\frac{x}{-t}-x_0\right)+f\left(\frac{x}{-t}\right)$$

同时成立即可，也就是说 $c$ 必须同时满足下列两个不等式：

$$\begin{gathered} c⩽p\left(x^{\prime }+x_0\right)-f\left(x^{\prime }\right),x^{\prime }\in Z, \\ c⩾-p\left(x^{\prime \prime }-x_0\right)+f\left(x^{\prime \prime }\right),x^{\prime \prime }\in Z \end{gathered}$$

显然要使满足上述两个不等式的实数 $c$ 存在，需且只需不等式

$$-p\left(x^{\prime \prime }-x_0\right)+f\left(x^{\prime \prime }\right)⩽p\left(x^{\prime }+x_0\right)-f\left(x^{\prime }\right),$$

即不等式

$$f\left(x^{\prime }\right)+f\left(x^{\prime \prime }\right)⩽p\left(x^{\prime \prime }-x_0\right)+p\left(x^{\prime }+x_0\right)$$

对一切 $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in Z$ 成立.由于 $p$ 为次线性泛函，而 $f$ 又 在 $Z$ 上 被 $p$ 控制，所以对任意$x^{\prime },$$x^{\prime \prime }\in Z,$ 有

$$f\left(x^{\prime }\right)+f\left(x^{\prime \prime }\right)=f\left(x^{\prime }+x^{\prime \prime }\right)⩽p\left(x^{\prime }+x^{\prime \prime }\right)⩽p\left(x^{\prime \prime }-x_0\right)+p\left(x^{\prime }+x_0\right),$$

所以要寻找的 $c$ 确 实存在.事实上，只要取 $c$ 满足

$$\underset{x^{\prime }\in Z}{\sup }\left[-p\left(x^{\prime \prime }-x_0\right)+f\left(x^{\prime \prime }\right)\right]⩽c⩽\underset{x^{\prime }\in Z}{\inf }\left[p\left(x^{\prime }+x_0\right)-f\left(x^{\prime }\right)\right]$$

即可这样一来，我们证明了的确存在 $Y$ 上的线性泛函 $g,$ 使 $g$ 是 $f$ 的延拓，且仍然满足$g(x)⩽p(x),x\in Y.$

下面证明存在全空间上定义的实线性泛函 $\tilde{f},$ 使 $\tilde{f}$是 $f$ 的延拓，并且对一切 $x\in$$X,$ 有 $\tilde{f}(x)⩽p(x).$

由上述，我们可以一维一维地逐步延拓，但是这个过程可能要做"不可数无限"次，因而不能用普通数学归纳法完成证明.为此必须应用佐恩(Zon)引理（见本书最后的附录二).

现在让我们把上述关于实线性空间和实线性泛函的定理推广到复空间的情况.

定理2

设 $X$ 是实或复的线性空间， $p(x)$ 是 $X$ 上 次线性泛函，$f(x)$ 是定义在 $X$ 的子空间 $Z$ 上的实或复的线性泛函，且满足

$$|f(x)|⩽p(x),x\in Z,$$

则存在 $X$ 上线性泛函 $\tilde{f},$ 它 是 $f$ 的延拓，且满足

$$|\tilde{f}(x)|⩽p(x),x\in X.$$

证明
(1)若 $X$ 是实线性空间，由定理1知，存在实线性泛函$\tilde{f}(x),$ 它 是 $f$ 的延拓，且满足 $\tilde{f}(x)⩽p(x),x\in X.$又由于对任何$x\in X,\tilde{f}(-x)⩽p(-x)=p(x),$ 所以$\tilde{f}(x)⩾-p(x),$ 因而

$$|\tilde{f}(x)|⩽p(x),x\in X.$$

(2)若 $X$ 是 复线性空间，则 $f$ 是 $Z$ 上 复线性泛函，设$f(x)=f_1(x)+\mathrm{i}{f}_2(x),$ 其中$f_1(x)$和 $f_2(x)$ 分别为 $f(x)$的实部和虚部.另一方面，由于复线性空间也可以看作实线性空间，设 $X,$ 和 $Z,$ 分 别表示实线性空间 $X$ 和 $Z,$ 于 是 $f_1$可看成在 $Z,$ 上的实线性泛函.由于$\left|f_1(x)\right|⩽|f(x)|⩽p(x),x\in Z=Z_r,$由定理1，存在 $X,$ 上实线性泛函 ${\tilde{f}}_1(x),$ 使${\tilde{f}}_1(x)$ 是$f(x)$ 的延拓，并且${\tilde{f}}_1(x)⩽p(x),x\in X_r.$

我们现在回过来看 $Z$ 上复线性泛函 $f.$ 对 $x\in Z,$ 由于 $f$是复线性泛函，所以 $\mathrm{i}f(x)=$$f(\mathrm{i}x),x\in Z,$ 于是有

$$\mathrm{i}f(x)=\mathrm{i}\left[f_1(x)+\mathrm{i}{f}_2(x)\right]=f(\mathrm{i}x)=f_1(\mathrm{i}x)+\mathrm{i}{f}_2(\mathrm{i}x),$$

比较实部，可知 $-f_2(x)=f_1(\mathrm{i}x),$我们不妨设想，当 $x\in X$ 时，仍有$-{\tilde{f}}_2(x)={\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)$成立，其中 ${\tilde{f}}_1(x)$ 和 ${\tilde{f}}_2(x)$分别为所求泛函 $\tilde{f}$ 的实部和虚部，因而有理由令

$$\tilde{f}(x)={\tilde{f}}_1(x)-\mathrm{i}{\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x),x\in X.$$

(注意： $:X_r$ 和 $X$ 的元素相同$\mathrm{i}x\in X=X_r,$ 故${\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)$ 有意义)，这样定义的
$\tilde{f}(x)$ 是 $f(x)$ 的延拓事实上，当 $x\in Z$ 时， $\mathrm{i}x\in Z,$ 所以

$$\tilde{f}(x)={\tilde{f}}_1(x)-\mathrm{i}{\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)=f_1(x)-\mathrm{i}{f}_1(\mathrm{i}x)=f_1(x)+\mathrm{i}{f}_2(x)=f(x).$$

现在只需证 $\tilde{f}(x)$ 是 $X$ 上线性泛函，且有$|\tilde{f}(x)|⩽p(x),x\in X.$ 因${\tilde{f}}_1$ 可加，故 $\tilde{f}$满足可加性是显然的.现只需证 $\tilde{f}$ 对复数$\alpha =a+\mathrm{i}b,$ 满足$\tilde{f}(\alpha x)=\alpha \tilde{f}(x).$ 事实上，

$$\begin{array}{r}\tilde{f}((a+ib)x)={\tilde{f}}_1(ax+ibx)-\mathrm{i}{\tilde{f}}_1(iax-bx)\\ =a{\tilde{f}}_1(x)+b{\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)-\mathrm{i}a{\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)+\mathrm{i}b{\tilde{f}}_1(x)\\ =(a+\mathrm{i}b)\left[{\tilde{f}}_1(x)-\mathrm{i}{\tilde{f}}_1(\mathrm{i}x)\right]=(a+\mathrm{i}b)\tilde{f}(x).\end{array}$$

下面证 $|\tilde{f}(x)|⩽p(x),x\in X.$ 若$\tilde{f}(x)=0,$ 则 结论显然成立；若 $x\in X,$ 使$\tilde{f}(x)\ne$
0,设$\tilde{f}(x)={\mathrm{e}}^{i\theta }|\tilde{f}(x)|,$于是

$$|\tilde{f}(x)|=\tilde{f}(x){\mathrm{e}}^{-i\theta }=\tilde{f}\left({\mathrm{e}}^{-i\theta }x\right)={\tilde{f}}_1\left({\mathrm{e}}^{-i\theta }x\right)-\mathrm{i}{\tilde{f}}_1\left({\mathrm{ie}}^{-i\theta }x\right),$$

但因 $|\tilde{f}(x)|$ 是实数，故$|\tilde{f}(x)|={\tilde{f}}_1\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }x\right),$由于 ${\tilde{f}}_1$ 满足$\left|{\tilde{f}}_1(x)\right|⩽p(x),x\in X,$故

$$|\tilde{f}(x)|={\tilde{f}}_1\left({\mathrm{e}}^{-i\theta }x\right)⩽p\left({\mathrm{e}}^{-i\theta }x\right)=\left|{\mathrm{e}}^{-i\theta }\right|p(x)=p(x).$$

在定理1和定理2中，事实上并未涉及 $X$ 上范数或度量等概念，而完全是线性问题.下面我们把哈恩-巴拿赫定理用于赋范线性空间的情况，得出两个重要的定理

定理3

设 $f$ 是 赋范空间 $X$ 的 子空间 $Z$ 上 的连续线性泛函，则必存在$X$ 上连续线性泛函 $\tilde{f},$ 它是 $f$ 的保范延拓，即当 $x\in Z$ 时，有

$$\tilde{f}(x)=f(x),并且\Vert \tilde{f}{\Vert }_x=\Vert f{\Vert }_z.$$

证明
因为在 $Z$ 上有 $|f(x)|⩽\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert ,$ 而$p(x)=\Vert f{\Vert }_Z\Vert x\Vert$ 是 $X$ 上次线性泛函，由定理2，存在 $\tilde{f},$ 它是 $f$ 在全空间 $X$上的延拓，并且满足$|\tilde{f}(x)|⩽p(x)=\Vert f{\Vert }_z$$\Vert x\Vert ,x\in X.$ 这说明 $\tilde{f}$ 是 $X$ 上连续线性泛函，并且$\Vert \tilde{f}{\Vert }_x⩽\Vert f{\Vert }_Z;$ 另 一方面， $X$的单位球包含 $Z$ 的单位球，故

$$\Vert \tilde{f}{\Vert }_x=\underset{1,x\in X}{\sup }|\tilde{f}(x)|⩾\underset{1,x\in Z}{\sup }|\tilde{f}(x)|=\underset{1,x\in Z^1}{\sup }|f(x)|=\Vert f{\Vert }_Z.$$

所以 $\Vert \tilde{f}{\Vert }_x=\Vert f{\Vert }_z.$

定理4

设 $X$ 是赋范线性空间、 $x_0\in X,x_0\ne 0,$则必存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f(x),$使得 $\Vert f\Vert =1,$ 并且$f\left(x_0\right)=\Vert x_0\Vert .$

证明
我们考虑 $X$ 中一维子空间X1={αx0:αX_{1} = \left\{\alpha x_{0}:\alpha \right.X1​={αx0​:α 为复数，在 $X_1$上定义泛函 $f_1(x)=$$f_1\left(\alpha x_0\right)=\alpha \Vert x_0\Vert ,$其中 $x=\alpha x_0\in X_1,$ 它显然是线性泛函，又因为$\left|f_1(x)\right|=|\alpha |\Vert x_0\Vert =$$\Vert x\Vert ,$ 故 $f_1$ 是 $X_1$ 上连续线性泛函，并且${\Vert f_1\Vert }_{x_1}=1.$ 由定理3，存在整个空间 $X$ 上连续线性泛函 $f,$ 它是 $:f_1$ 的延拓，并且$\Vert f{\Vert }_x={\Vert f_1\Vert }_{x_1}=1.$特别取 $x=x_0\in X_1,$ 所以$f\left(x_0\right)=$$f_1\left(x_0\right)=\Vert x_0\Vert .$

推论

设 $X$ 是赋范线性空间 $x\in X,$ 若对 $X$ 上 所有连续线性泛函 $f,$均有 $f(x)=0,$则必有 $x=0.$

这由定理4，运用反证法立即可得.