泛函分析基础10-巴拿赫空间中的基本定理3：共轭算子

设 $X,Y$ 是 两个赋范线性空间， $X^{\prime }$ 和 $Y^{\prime }$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的 共轭空间， $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 中 的有界线性算子今对任意 $g\in Y^{\prime },$ 可以如下定义 $X$ 上的泛函$f:$

$$f(x)=g(Tx),$$

这个泛函 $f$ 显然是线性的，由于

$$|f(x)|=|g(Tx)|⩽\Vert g\Vert \Vert Tx\Vert ⩽\Vert g\Vert \Vert T\Vert \Vert x\Vert ,$$

故 $f$ 也是有界线性泛函，即 $f\in X^{\prime }.$ 于是我们建立起了$g\mapsto f$ 的对应，即由 $T$ 派生出一个从 $Y^{\prime }$ 到 $X^{\prime }$ 的 算子$T^{\ast }:T^{\ast }g=f.$ 称 $T^{\times }$ 为 $T$ 的 共轭算子

定理

有界线性算子 $T$ 的共轭算子 $T^{\ast }$ 也是有界线性算子，并且$\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert .$

证明
对任何 $g_1,g_2\in Y^{\prime }$ 及数$\alpha ,\beta ,$ 由 $T^{\times }$ 的定义，有

$$\begin{array}{r}{T}^{\times }\left(\alpha g_1+\beta g_2\right)(x)=\left(\alpha g_1+\beta g_2\right)(Tx)=\alpha g_1(Tx)+\beta g_2(Tx)\\ =\alpha T^x{g}_1(x)+\beta T^x{g}_2(x)=\left(\alpha T^x{g}_1+\beta T^x{g}_2\right)(x),x\in X,\end{array}$$

所以$T^{\ast }\left(\alpha g_1+\beta g_2\right)=\alpha T^{\ast }{g}_1+\beta T^{\ast }{g}_2,$即 $T^{\ast }$ 是线性算子，又由前述，对所有 $f\in X^{\prime }$ 及$x\in$$X,$ 有

$$|f(x)|⩽\Vert g\Vert \Vert T\Vert \Vert x\Vert ,$$

即

$$\Vert T^{\ast }g(x)\Vert ⩽\Vert g\Vert \Vert T\Vert \Vert x\Vert .$$

所以

$$\Vert T^{x}g\Vert ⩽\Vert g\Vert \Vert T\Vert .$$

故 $T^{\times }$ 是有界算子，且$\Vert T^x\Vert ⩽\Vert T\Vert .$现在用泛函延拓定理来证明$\Vert T\Vert ⩽\Vert T^{\ast }\Vert .$ 事实上，对任何 $x\in X,$ 若 $Tx\ne 0,$ 则必有 $x\ne 0,$ 由$\mathrm{S}$ 1定理4，对这个 $Tx,$ 必有 $g\in Y^{\prime },$满足$\Vert g\Vert =1,$ 并且 $g(Tx)=\Vert Tx\Vert ,$ 于是

$$\begin{array}{r}\Vert Tx\Vert =g(Tx)=\left(T^{x}g\right)(x)⩽\Vert T^{x}g\Vert \Vert x\Vert \\ ⩽\Vert T^x\Vert \Vert g\Vert \Vert x\Vert =\Vert T^x\Vert \Vert x\Vert .\end{array}$$

而当 $Tx=0$ 时，上面不等式自然成立，故对一切 $x\in X,$ 都有

$$\Vert Tx\Vert ⩽\Vert T^{\ast }\Vert \Vert x\Vert .$$

这就证明了 $\Vert T\Vert ⩽\Vert T^x\Vert .$ 因而$\Vert T\Vert =\Vert T^x\Vert .$

例
设 $T_E$ 是从 $n$ 维空间 $E$ 到 $E$ 中的线性算子选取 $E$ 中 的基$e_1,e_2,\cdots ,e_n,$ 则对每个 $x\in E,x$ 可表示为$\left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n\right).$ 设$y=T_{E}x,y=\left({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right),$则 ${\eta }_j={\sum }_{k=1}^n{a}_k{\xi }_k,$ 故$T_E$ 与矩阵 $\left(a_{ij}\right)$ 对应.设$f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 为 $E^{\prime }$ 中满足$f_k\left(e_j\right)={\delta }_{jk}$ 的泛函，不难验证$f_1,f_2,\cdots ,f_n$也是 $E^{\prime }$ 中 的基（事实上， $E^{\prime }$ 仍 为 $n$维欧氏空间）.对任意的 $g\in E^{\prime },$ 设

$$g={\alpha }_1{f}_1+{\alpha }_2{f}_2+\cdots +{\alpha }_n{f}_n,$$

则
$$\begin{array}{r}{f}_i(y)=f_i\left(\sum _{k=1}^n{\eta }_k{e}_k\right)={\eta }_i,\\ g(y)=g\left(T_{E}x\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\eta }_i=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n{\alpha }_i{a}_{ik}{\xi }_k,\end{array}$$

交换两个和式的次序，我们有

$$g\left(T_{E}x\right)=\sum _{k=1}^n{\beta }_k{\xi }_k,$$

其中${\beta }_k={\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\alpha }_i.$记$\left(T_E^{x}g\right)(x)=f(x)=g\left(T_{E}x\right)={\sum }_{k=1}^n{\beta }_k{\xi }_k,$可 知 $T_E^{\ast }$ 与 $\left(a_{ij}\right)$ 的转置矩阵对应.

注
在希尔伯特空间中，我们曾经考虑过 $T$ 的希尔伯特共轭算子 $T^{\ast },$它的定义是满足 $⟨Tx,y⟩=$$⟨x,T^{\ast }y⟩,x,y\in X$ 的算子，如果以 $A$ 表 示 $X$ 到 $X^{\prime }$ 中如下的变换：$A{x}_0=f_{x_0},x_0\in X,$ 其中$f_{x_0}$ 为 $X^{\prime }$ 中由$f_{x_0}(x)=⟨x,x_0⟩$ 所定义的泛函，则由里斯表示定理知 $A$ 是等距映射，并且由于

$$\begin{array}{r}A\left(\alpha x_0+\beta y_0\right)(x)=⟨x,\alpha x_0+\beta y_0⟩=\tilde{\alpha }(x,x_0⟩+\hat{\beta }(x,y_0⟩\\ =\alpha A{x}_0(x)+\beta A{y}_0(x)=\left(\alpha A{x}_0+\beta A{y}_0\right)(x),\end{array}$$

可知 $A$ 是共轭线性算子，不难看出，此时有

$$T^{\ast }=A^{-1}{T}^{\ast }A,$$

由于 $T^{\ast }$ 是 线性变换， $A$ 和 $A^{-1}$ 同为共轭线性变换，所以 $T^{\ast }$ 仍 是线性变换， $T^{\ast }$ 和$T^{\ast }$ 虽有区别，但由于习惯上的原因，人们往往不写 $T^{\times },$ 而写 $T^{\ast },$读者视情况自动加以区别就是了，